Lösung 3.4:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If the equation has the root
+
Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, daher ist
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<math>z=\text{1}</math>, this means, according to the factor rule, that the equation mustcontain the
+
-
<math>z=\text{1}</math>, i.e. the polynomial on the left-hand side can be written as
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math> ,}}
-
<math>z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z-1 \right)</math>
+
wobei <math>A</math> und <math>B</math> Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
z^2+Az+B
 +
&= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt]
 +
&= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt]
 +
&= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
for some constants
+
Daher ist unsere Gleichung
-
<math>A</math>
+
-
and
+
-
<math>B</math>. We can determine the other unknown factor using polynomial division:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von
-
& z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( z^{2}+Az+B \right)\left( z-1 \right) \\
+
<math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>.
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& z^{2}+Az+B=\frac{z^{3}-3z^{2}+4z-2}{z-1} \\
+
-
& =\frac{z^{3}-z^{2}+z^{2}-3z^{2}+4z-2}{z-1} \\
+
-
& =\frac{z^{2}\left( z-1 \right)-2z^{2}+4z-2}{z-1} \\
+
-
& =z^{2}+\frac{-2z^{2}+4z-2}{z-1} \\
+
-
& =z^{2}+\frac{-2z^{2}+2z-2z+4z-2}{z-1} \\
+
-
& =z^{2}+\frac{-2z\left( z-1 \right)+2z-2}{z-1} \\
+
-
& =z^{2}-2z+\frac{2z-2}{z-1} \\
+
-
& =z^{2}-2z+\frac{2\left( z-1 \right)}{z-1} \\
+
-
& =z^{2}-2z+2 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung
-
Thus, the equation can be written as
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0</math>}}
 +
durch quadratische Ergänzung lösen
-
<math>\left( z-1 \right)\left( z^{2}-2z+2 \right)=0</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt]
 +
(z-1)^2 &= -1
 +
\end{align}</math>}}
 +
und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und
 +
<math>z=1+i\,</math>.
-
The advantage of writing the equation in this factorized form is that we can now conclude that the equation's two other roots must be zeros of the factor
+
Die anderen Wurzeln sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>.
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<math>z^{2}-2z+2</math>. This is because the left-hand side is zero only when at least one of the factors
+
-
<math>z-\text{1}</math>
+
-
or
+
-
<math>z^{2}-2z+2</math>
+
-
is zero, and we see directly that
+
-
<math>z-\text{1}</math>
+
-
is zero only when
+
-
<math>z=\text{1}</math>.
+
-
Hence, we determine the roots by solving the equation
 
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- 
-
<math>z^{2}-2z+2=0</math>
 
- 
- 
-
Completing the square gives
 
 +
Wir kontrollieren, ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& \left( z-\text{1} \right)^{2}-1^{2}+2=0 \\
+
z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2
-
& \left( z-\text{1} \right)^{2}=-1 \\
+
&= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt]
 +
&= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt]
 +
&= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt]
 +
&= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt]
 +
&= (1-i)(1+i)-2\\[5pt]
 +
&= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt]
 +
&= 1+1-2\\[5pt]
 +
&= 0\,,\\[10pt]
 +
z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2
 +
&= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt]
 +
&= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= (1+i)(1-i)-2\\[5pt]
 +
&= 1^2-i^2-2\\[5pt]
 +
&= 1+1-2\\[5pt]
 +
&= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
- 
- 
-
and taking the root gives that
 
-
<math>z-\text{1}=\pm i</math>
 
-
i.e.
 
-
<math>z=1-i</math>
 
-
and
 
-
<math>z=1+i</math>.
 
- 
-
The equation's other roots are
 
-
<math>z=1-i</math>
 
-
and
 
-
<math>z=1+i</math>.
 
- 
-
As an extra check, we investigate whether
 
-
<math>z-\text{1}=\pm i</math>
 
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really are roots of the equation.
 
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<math>\begin{align}
 
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& z=1+i:\quad z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2 \\
 
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& =\left( \left( 1+i-3 \right)\left( 1+i \right)+4 \right)\left( 1+i \right)-2 \\
 
-
& =\left( \left( -2+i \right)\left( 1+i \right)+4 \right)\left( 1+i \right)-2 \\
 
-
& =\left( -2+i-2i-1+4 \right)\left( 1+i \right)-2 \\
 
-
& =\left( 1-i \right)\left( 1+i \right)-2 \\
 
-
& =1^{2}-i^{2}-2=1+1-2=0 \\
 
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\end{align}</math>
 
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- 
-
<math>\begin{align}
 
-
& z=1-i:\quad z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2 \\
 
-
& =\left( \left( 1-i-3 \right)\left( 1-i \right)+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\
 
-
& =\left( \left( -2-i \right)\left( 1-i \right)+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\
 
-
& =\left( -2-i+2i-1+4 \right)\left( 1-i \right)-2 \\
 
-
& =\left( 1+i \right)\left( 1-i \right)-2 \\
 
-
& =1^{2}-i^{2}-2=1+1-2=0 \\
 
-
\end{align}</math>
 
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NOTE: Writing
 
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<math>z^{3}-3z^{2}+4z-2=\left( \left( z-3 \right)z+4 \right)z-2</math>
 
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is known as the Horner scheme and is used to reduce the amount of the arithmetical work.
 

Aktuelle Version

Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) \displaystyle z=1 hat, ist \displaystyle z-1 ein Faktor im Polynom, daher ist

\displaystyle z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1) ,

wobei \displaystyle A und \displaystyle B Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen

\displaystyle \begin{align}

z^2+Az+B &= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.} \end{align}

Daher ist unsere Gleichung

\displaystyle (z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von \displaystyle z^2-2z+2 sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn \displaystyle z-1 oder wenn \displaystyle z^2-2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass \displaystyle z-1 nur null ist, wenn \displaystyle z=1\,.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

\displaystyle z^2-2z+2 = 0

durch quadratische Ergänzung lösen

\displaystyle \begin{align}

(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt] (z-1)^2 &= -1 \end{align}

und wir erhalten \displaystyle z-1=\pm i, also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Die anderen Wurzeln sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.


Wir kontrollieren, ob \displaystyle z = 1 \pm i Wurzeln der Gleichung sind

\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:2“