Lösung 3.4:2
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
K (Lösning 3.4:2 moved to Solution 3.4:2: Robot: moved page) |
|||
| (Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | {{ | + | Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) <math>z=1</math> hat, ist <math>z-1</math> ein Faktor im Polynom, daher ist |
| - | < | + | |
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)</math> ,}} |
| + | |||
| + | wobei <math>A</math> und <math>B</math> Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | z^2+Az+B | ||
| + | &= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt] | ||
| + | &= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Daher ist unsere Gleichung | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>(z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von | ||
| + | <math>z^2-2z+2</math> sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn <math>z-1</math> oder wenn <math>z^2-2z+2</math> null ist. Wir sehen direkt, dass <math>z-1</math> nur null ist, wenn <math>z=1\,</math>. | ||
| + | |||
| + | Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>z^2-2z+2 = 0</math>}} | ||
| + | |||
| + | durch quadratische Ergänzung lösen | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | (z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt] | ||
| + | (z-1)^2 &= -1 | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | und wir erhalten <math>z-1=\pm i</math>, also <math>z=1-i</math> und | ||
| + | <math>z=1+i\,</math>. | ||
| + | |||
| + | Die anderen Wurzeln sind also <math>z=1-i</math> und <math>z=1+i\,</math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Wir kontrollieren, ob <math>z = 1 \pm i</math> Wurzeln der Gleichung sind | ||
| + | |||
| + | <math>\begin{align} | ||
| + | z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 | ||
| + | &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] | ||
| + | &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] | ||
| + | &= 1+1-2\\[5pt] | ||
| + | &= 0\,,\\[10pt] | ||
| + | z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 | ||
| + | &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] | ||
| + | &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] | ||
| + | &= 1^2-i^2-2\\[5pt] | ||
| + | &= 1+1-2\\[5pt] | ||
| + | &= 0\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math> | ||
Aktuelle Version
Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) \displaystyle z=1 hat, ist \displaystyle z-1 ein Faktor im Polynom, daher ist
| \displaystyle z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1) , |
wobei \displaystyle A und \displaystyle B Konstanten sind. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen
| \displaystyle \begin{align}
z^2+Az+B &= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.} \end{align} |
Daher ist unsere Gleichung
| \displaystyle (z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.} |
Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von \displaystyle z^2-2z+2 sein. Das ist so, da die linke Seite nur dann null ist, wenn \displaystyle z-1 oder wenn \displaystyle z^2-2z+2 null ist. Wir sehen direkt, dass \displaystyle z-1 nur null ist, wenn \displaystyle z=1\,.
Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung
| \displaystyle z^2-2z+2 = 0 |
durch quadratische Ergänzung lösen
| \displaystyle \begin{align}
(z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt] (z-1)^2 &= -1 \end{align} |
und wir erhalten \displaystyle z-1=\pm i, also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.
Die anderen Wurzeln sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.
Wir kontrollieren, ob \displaystyle z = 1 \pm i Wurzeln der Gleichung sind
\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}
