Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Let us first divide both sides by <math>4+i</math>, so that the coefficient in front of <math>z^2</math> becomes <math>1</math>,	+	Zuerst dividieren wir beide Seiten durch <math>4+i</math>, sodass der Koeffizient von <math>z^2</math> dann 1 ist.
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}</math>}}
-	The two complex quotients become	+	Die beiden komplexen Brüche sind
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Thus, the equation becomes	+	Die Gleichung ist daher
	{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}</math>}}
-	Now, we complete the square of the left-hand side,	+	Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\,,\\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\\[5pt]
-	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\,,\\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\\[5pt]
-	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i\,, \\[5pt]	+	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i \\[5pt]
	\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}		\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	If we set <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>, we have a binomial equation in <math>w</math>,	+	Lassen wir <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math> sein, erhalten wir die Gleichung
-	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math> ,}}
-	which we solve by putting <math>w=x+iy</math>,	+	die wir lösen, indem wir annehmen, dass <math>w=x+iy</math>
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
-	or, if the left-hand side is expanded,	+	oder, falls wir die linke Seite erweitern,
	{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
-	If we identify the real and imaginary parts on both sides, we get	+	Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]		x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]
-	2xy &= \frac{3}{2}\,,	+	2xy &= \frac{3}{2}\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and if we take the magnitude of both sides and put them equal to each other, we obtain a third relation:	+	Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-	Strictly speaking, this last relation is contained within the first two and we include it because makes the calculations easier.	+	Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.
-	Together, the three relations constitute the following system of equations:	+	Wir erhalten die Gleichungen
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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	\end{align} \right.</math>}}		\end{align} \right.</math>}}
-	From the first and the third equations, we can relatively easily obtain the values that <math>x</math> and <math>y</math> can take.	+	Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht <math>x</math> und <math>y</math> lösen.
-	Add the first and third equations,	+	Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten
	{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	||		||
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	|}		|}
-	which gives that <math>x=\pm \tfrac{1}{2}</math>.	+	und wir erhalten <math>x=\pm \tfrac{1}{2}</math>.
-	Then, subtract the first equation from the third equation,	+	Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten
	{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	||		||
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	|align="right"|<math>2y^2</math>		|align="right"|<math>2y^2</math>
	||<math>{}={}</math>		||<math>{}={}</math>
-	|align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math>	+	|align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math> ,
	|}		|}
-	i.e. <math>y=\pm\tfrac{3}{2}</math>.	+	also <math>y=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
-	This gives four possible combinations,	+	Dies ergibt vier mögliche Lösungen
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 143:		Zeile 143:
	x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]		x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
	y &= -\tfrac{3}{2}		y &= -\tfrac{3}{2}
-	\end{align} \right.</math>}}	+	\end{align} \right.</math>,}}
-	of which only two also satisfy the second equation.	+	von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 151:		Zeile 151:
	y &= \tfrac{3}{2}		y &= \tfrac{3}{2}
	\end{align}\right.		\end{align}\right.
-	\qquad\text{and}\qquad	+	\qquad\text{und}\qquad
	\left\{\begin{align}		\left\{\begin{align}
	x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]		x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
	y &= -\tfrac{3}{2}		y &= -\tfrac{3}{2}
-	\end{align}\right.</math>}}	+	\end{align}\right.</math>.}}
-	This means that the binomial equation has the two solutions,	+	Also erhalten wir die Lösungen
-	{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad</math> and <math>\qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad</math> und <math>\qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i</math>}}
-	and that the original equation has the solutions	+	und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z=1+4i\qquad</math> and <math>\qquad z=i</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z=1+4i\qquad</math> und <math>\qquad z=i</math>}}
-	according to the relation <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.	+	durch die Formel <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
-	Finally, we check that the solutions really do satisfy the equation.	+	Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

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Aktuelle Version

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 4+i, sodass der Koeffizient von \displaystyle z^2 dann 1 ist.

\displaystyle z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}

Die beiden komplexen Brüche sind

\displaystyle \begin{align} \frac{1-21i}{4+i} &= \frac{(1-21i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{4-i-84i+21i^2}{4^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{-17-85i}{16+1} = \frac{-17-85i}{17} = -1-5i\,,\\[10pt] \frac{17}{4+i} &= \frac{17(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{17(4-i)}{4^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{17(4-i)}{17} = 4-i\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i \\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} \end{align}

Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2} sein, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i ,

die wir lösen, indem wir annehmen, dass \displaystyle w=x+iy

\displaystyle (x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i

oder, falls wir die linke Seite erweitern,

\displaystyle x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \begin{align} x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt] 2xy &= \frac{3}{2}\,. \end{align}

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt] 2xy &= \frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align} \right.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht \displaystyle x und \displaystyle y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten

	\displaystyle x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2
\displaystyle +\ \	\displaystyle x^2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
	\displaystyle 2x^2			\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{1}{2}

und wir erhalten \displaystyle x=\pm \tfrac{1}{2}.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten

	\displaystyle x^2	\displaystyle {}+{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \	\displaystyle \bigl(x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle -2\rlap{\bigr)}
			\displaystyle 2y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{9}{2} ,

also \displaystyle y=\pm\tfrac{3}{2}.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align} \right.,

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right..

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad und \displaystyle \qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle z=1+4i\qquad und \displaystyle \qquad z=i

durch die Formel \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2}.

Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

\displaystyle \begin{align} z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt] &= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt] &= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt] &= 17\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt] &= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt] &= -4-i+i+21\\[5pt] &= 17\,\textrm{.} \end{align}