Lösung 3.3:4d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| (Der Versionsvergleich bezieht eine dazwischen liegende Version mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math> | + | Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math> |
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann | + | In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein. |
| - | Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung | + | Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0 | + | z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt] |
| - | \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0 | + | \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt] |
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.} | \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.} | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| Zeile 15: | Zeile 15: | ||
Wir erhalten die Wurzeln | Wir erhalten die Wurzeln | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}} |
| - | + | Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung. | |
| - | Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben. | + | Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben. |
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Um \displaystyle z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit \displaystyle z
| \displaystyle 1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.} |
In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn \displaystyle z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
| \displaystyle \begin{align}
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erhalten die Wurzeln
| \displaystyle z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad und \displaystyle \quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.} |
Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
\displaystyle \begin{align} z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite,}\\[10pt] z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}
