Lösung 3.3:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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To avoid having
+
Um <math>z</math> im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit <math>z</math>
-
<math>z</math>
+
-
in the denominator, we multiply both sides of the equation by
+
-
<math>z</math>:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>1+z^{2}=\frac{1}{2}z</math>
+
In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn <math>z=0</math> eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.
 +
Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung
-
This multiplication could possibly introduce a false root if it turns out that the new equation has
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>z=0\text{ }</math>
+
z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt]
-
as a root. The old equation, for understandable reasons, have
+
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt]
-
<math>z=0\text{ }</math>
+
\Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.}
-
as a solution.
+
\end{align}</math>}}
-
If we move the terms over to the left-hand side and complete the square, we get
+
Wir erhalten die Wurzeln
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad</math> und <math>\quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
-
& z^{2}-\frac{1}{2}z+1=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1}{4} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4} \right)^{2}+1=0 \\
+
-
& \left( z-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{15}{16}=0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This gives that the equation has solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>
+
-
and
+
-
<math>z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
None of these solutions are equal to zero, so these are also solutions to the original equation.
+
-
 
+
-
We substitute the solutions into the original equations to assure ourselves that we have calculated correctly.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& z=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
+
-
& =\frac{1}{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
-
& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
-
& =\frac{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
-
& =\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
 +
Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& z=\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{LHS}=\frac{1}{z}+z= \\
+
z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite}
-
& =\frac{1}{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{14}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-
& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\left( \frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)\left( \frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4} \right)}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-
& =\frac{\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{16}+\frac{15}{16}}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4} \\
+
&= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
-
& =\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{1}{2}=\text{RHS} \\
+
&= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \text{Rechte Seite,}\\[10pt]
 +
z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite}
 +
&= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \text{Rechte Seite.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Um \displaystyle z im Nenner zu meiden, multiplizieren wir beide Seiten mit \displaystyle z

\displaystyle 1+z^2=\frac{1}{2}\,z\,\textrm{.}

In dieser Gleichung können aber Scheinlösungen entstanden sein. Wenn \displaystyle z=0 eine Wurzel ist, kann sie unmöglich eine Wurzel der ursprünglichen Gleichung sein.

Ziehen wir alle Terme zur linken Seite erhalten wir durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

z^2 - \frac{1}{2}\,z + 1 &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 + 1 &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1}{4}\Bigr)^2 + \frac{15}{16} &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle z=\frac{1}{4}+i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\quad und \displaystyle \quad z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}\,\textrm{.}

Da keine dieser Lösungen null ist, sind das auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.

Wir substituieren aber trotzdem die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben.

\displaystyle \begin{align} z=\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4} - i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\,\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4} + i\,\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}}+\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite,}\\[10pt] z={}\rlap{\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{15}}{4}:}\phantom{\frac{1}{4}-i\,\frac{\sqrt{15}}{4}:}{}\quad \text{Linke Seite} &= \frac{1}{\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{14}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\Bigl(\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{15}}{4}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}

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