Lösung 3.3:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Typically, one solves a second-degree by completing the square, followed by taking the root.
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Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung
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If we complete the square of the left-hand side, we get
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<math>\begin{align}
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& \left( z-2 \right)^{2}-2^{2}+5=0, \\
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& \left( z-2 \right)^{2}+1=0. \\
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\end{align}</math>
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Taking the root then gives that the equation has roots
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<math>z-2=\pm i,</math>
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i.e.
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<math>z=\text{2}+i</math>
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and
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<math>z=\text{2}-i</math>.
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If we want to be sure that we have found the correct solutions, we can substitute each solution into the equation and see whether the equation is satisfied.
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<math>\begin{align}
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& z=\text{2}+i:\quad z^{2}-4z+5=\left( \text{2}+i \right)^{2}-4\left( \text{2}+i \right)+5 \\
+
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& =2^{2}+4i+i^{2}-8-4i+5 \\
+
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& =4+4i-1-8-4i+5=0 \\
+
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\end{align}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(z-2)^2-2^2+5&=0,\\[5pt]
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(z-2)^2+1&=0.
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\end{align}</math>}}
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Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) <math>z-2=\pm i</math>, also <math>z=2+i</math> und <math>z=2-i</math>.
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Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
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& z=\text{2-}i:\quad z^{2}-4z+5=\left( \text{2-}i \right)^{2}-4\left( \text{2-}i \right)+5 \\
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z=2+i:\qquad z^2-4z+5
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& =2^{2}-4i+i^{2}-8+4i+5 \\
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&= (2+i)^2-4(2+i)+5\\[5pt]
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& =4-4i-1-8+4i+5=0 \\
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&= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt]
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&= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt]
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&=0\\[10pt]
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z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5
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&= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt]
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&= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt]
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&= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt]
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&= 0
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

(z-2)^2-2^2+5&=0,\\[5pt] (z-2)^2+1&=0. \end{align}

Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) \displaystyle z-2=\pm i, also \displaystyle z=2+i und \displaystyle z=2-i.

Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.

\displaystyle \begin{align} z=2+i:\qquad z^2-4z+5 &= (2+i)^2-4(2+i)+5\\[5pt] &= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt] &= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt] &=0\\[10pt] z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5 &= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt] &= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt] &= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt] &= 0 \end{align}

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