Lösung 3.3:3d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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Before we can complete the square of the expression, we need to take out the factor
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Zuerst ziehen wir den Faktor
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<math>i</math> in front of <math>z^2</math>,
+
<math>i</math> vom Ausdruck heraus, sodass <math>z^2</math> allein steht
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{{Displayed math||<math>i\Bigl(z^2+\frac{2+3i}{i}z-\frac{1}{i}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>i\Bigl(z^2+\frac{2+3i}{i}z-\frac{1}{i}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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Then, simplify the complex fractions by multiplying top and bottom by <math>-i</math> (the denominator's complex conjugate),
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Jetzt vereinfachen wir die komplexen Brüche, indem wir sie mit dem konjugierten, komplexen Nenner erweitern (<math>-i</math> in diesen Fall)
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
i\Bigl(z^2+\frac{(2+3i)\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}z-\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}\Bigr)
i\Bigl(z^2+\frac{(2+3i)\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}z-\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}\Bigr)
&= i\Bigl(z^2+\frac{-2i+3}{1}z-\frac{-i}{1}\Bigr)\\[5pt]
&= i\Bigl(z^2+\frac{-2i+3}{1}z-\frac{-i}{1}\Bigr)\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Now we are ready to complete the square of the second-degree expression inside the bracket,
+
Jetzt verwenden wir die Formel für die quadratische Ergänzung für den Ausdruck in den Klammern
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
i\bigl(z^2+(3-2i)z+i\bigr)
i\bigl(z^2+(3-2i)z+i\bigr)
&= i\Bigl(\Bigl(z+\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2+i\Bigr)\\[5pt]
&= i\Bigl(\Bigl(z+\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2+i\Bigr)\\[5pt]

Aktuelle Version

Zuerst ziehen wir den Faktor \displaystyle i vom Ausdruck heraus, sodass \displaystyle z^2 allein steht

\displaystyle i\Bigl(z^2+\frac{2+3i}{i}z-\frac{1}{i}\Bigr)\,\textrm{.}

Jetzt vereinfachen wir die komplexen Brüche, indem wir sie mit dem konjugierten, komplexen Nenner erweitern (\displaystyle -i in diesen Fall)

\displaystyle \begin{align}

i\Bigl(z^2+\frac{(2+3i)\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}z-\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}\Bigr) &= i\Bigl(z^2+\frac{-2i+3}{1}z-\frac{-i}{1}\Bigr)\\[5pt] &= i\bigl(z^2+(3-2i)z+i\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt verwenden wir die Formel für die quadratische Ergänzung für den Ausdruck in den Klammern

\displaystyle \begin{align}

i\bigl(z^2+(3-2i)z+i\bigr) &= i\Bigl(\Bigl(z+\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3-2i}{2}\Bigr)^2+i\Bigr)\\[5pt] &= i\bigl(\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2+i\bigr)\\[5pt] &= i\bigl(\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-\tfrac{9}{4}+3i-i^2+i\bigr)\\[5pt] &= i\bigl(\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-\frac{5}{4}+4i\bigr)\\[5pt] &= i\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-\tfrac{5}{4}i+4i^2\\[5pt] &= i\bigl(z+\tfrac{3}{2}-i\bigr)^2-4-\tfrac{5}{4}i\,\textrm{.} \end{align}

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