Lösung 3.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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When we complete the square, we replace all <math>z</math>-terms in the second-degree expression with a quadratic term which contains <math>z</math>, according to the formula
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Wir verwenden wie vorher die Formel
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{{Displayed math||<math>z^2+az = \Bigl(z+\frac{a}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^2+az = \Bigl(z+\frac{a}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2\,\textrm{,}</math>}}
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In our case, we set <math>a=3i</math> in order to complete the square,
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um die quadratische Ergänzung auszuführen. In diesen Fall ist <math>a=3i</math> und wir erhalten
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
z^2+3iz-\frac{1}{4}
z^2+3iz-\frac{1}{4}
&= \Bigl(z+\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \frac{1}{4}\\[5pt]
&= \Bigl(z+\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \frac{1}{4}\\[5pt]

Aktuelle Version

Wir verwenden wie vorher die Formel

\displaystyle z^2+az = \Bigl(z+\frac{a}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2\,\textrm{,}

um die quadratische Ergänzung auszuführen. In diesen Fall ist \displaystyle a=3i und wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

z^2+3iz-\frac{1}{4} &= \Bigl(z+\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \frac{1}{4}\\[5pt] &= \Bigl(z+\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2 - \frac{9}{4}\cdot (-1) - \frac{1}{4}\\[5pt] &= \Bigl(z+\frac{3}{2}\,i\Bigr)^2+2\,\textrm{.} \end{align}

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