Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir die Gleichung	+	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir
-	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{,}</math>}}
-	wessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,	+	deren Wurzeln wir schon kennen,
	{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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	also muss <math>z</math> die Gleichung		also muss <math>z</math> die Gleichung
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i</math>}}
-	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.	+	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.
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	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,		:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)</math>}}
-	:und ziehen Alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
	{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	:Dies ergibt	+	:Das ergibt
	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
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	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,		:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)</math>}}
-	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
	{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}

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Aktuelle Version

Wenn wir die Gleichung für \displaystyle w=\frac{z+i}{z-i} lösen, erhalten wir

\displaystyle w^2=-1\,\textrm{,}

deren Wurzeln wir schon kennen,

\displaystyle w=\left\{\begin{align} -i\,,&\\[5pt] i\,,& \end{align}\right.

also muss \displaystyle z die Gleichung

\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=-i\quad oder \displaystyle \quad\frac{z+i}{z-i}=i

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.

• \displaystyle (z+i)/(z-i)=-i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,

\displaystyle z+i=-i(z-i)

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

\displaystyle z+iz=-1-i\,\textrm{.}

Das ergibt

\displaystyle z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}

• \displaystyle (z+i)/(z-i)=i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,

\displaystyle z+i=i(z-i)

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

\displaystyle z-iz=1-i\,\textrm{.}

Dies ergibt

\displaystyle z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle z=-1 und \displaystyle z=1\,.