Lösung 3.3:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir bringen zuerst
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<math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>\text{1}+i</math> in Polarform und rechnen weiterhin in Polarform.
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Wir erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
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1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)
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\end{align}</math>}}
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und daraus folgt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
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&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt]
 +
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
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&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Durch den Moivreschen Satz erhalten wir schließlich
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\Bigr)^{12}
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&= \bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^{12}\Bigl(\cos\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr) + i\sin\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
 +
&= 2^{(1/2)\cdot 12}(\cos\pi + i\sin\pi)\\[5pt]
 +
&= 2^6\cdot (-1+i\cdot 0)\\[5pt]
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&= -64\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir bringen zuerst \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle \text{1}+i in Polarform und rechnen weiterhin in Polarform.

Image:3_3_1_d.gif Image:3_3_1_d_text.gif

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] 1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr) \end{align}

und daraus folgt

\displaystyle \begin{align}

\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] &= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Durch den Moivreschen Satz erhalten wir schließlich

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\Bigr)^{12} &= \bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^{12}\Bigl(\cos\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr) + i\sin\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{12}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 2^{(1/2)\cdot 12}(\cos\pi + i\sin\pi)\\[5pt] &= 2^6\cdot (-1+i\cdot 0)\\[5pt] &= -64\,\textrm{.} \end{align}

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