Lösung 2.1:5b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The integral is not in our list of known integrals, but we will try to rewrite the integrand as something more manageable.
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Wir können das Integral nicht direkt berechnen, aber verwenden wir die Halbwinkelformel, erhalten wir
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In this case, we can use the formula for half-angles and write
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin^2\!x=\frac{1-\cos 2x}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Die rechte Seite besteht nur aus Termen, die wir direkt integrieren können.
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<math>\sin ^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int \sin^2\!x\,dx
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The right-hand side contains only terms which we can integrate and the calculation becomes
+
&= \int\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx\\[5pt]
-
 
+
&= \int\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\Bigr)\,dx\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} + C\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\,\textrm{.}
-
& \int{\sin ^{2}x\,dx}=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx} \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\int{\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x \right)}\,dx \\
+
-
& =\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\centerdot \frac{\sin 2x}{2}+C \\
+
-
& =\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C \\
+
-
\end{align}</math>.
+
-
 
+
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(Notice how we compensate with a factor
+
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<math>\text{2}</math>
+
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in the denominator for the derivative of
+
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<math>\sin 2x</math>.)
+

Aktuelle Version

Wir können das Integral nicht direkt berechnen, aber verwenden wir die Halbwinkelformel, erhalten wir

\displaystyle \sin^2\!x=\frac{1-\cos 2x}{2}\,\textrm{.}

Die rechte Seite besteht nur aus Termen, die wir direkt integrieren können.

\displaystyle \begin{align}

\int \sin^2\!x\,dx &= \int\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx\\[5pt] &= \int\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} + C\\[5pt] &= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\,\textrm{.} \end{align}

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