Lösung 2.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We have a product of two factors in the integrand, so a partial integration does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate
+
Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten.
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<math>x^{\text{3}}</math>
+
-
(so as to reduce its exponent by
+
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<math>\text{1}</math>), we need to find a primitive function for
+
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<math>e^{x^{2}}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate
+
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<math>x^{\text{3}}</math>
+
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and differentiate
+
-
<math>e^{x^{2}}</math>, we get
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx
 +
&= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{4}x^{4}e^{x^2} - \frac{1}{2}\int x^5e^{x^2}\,dx
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
-
& \int{x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\frac{x^{4}}{4}}\centerdot e^{x^{2}}-\int{\frac{x^{4}}{4}}\centerdot e^{x^{2}}2x\,dx \\
+
-
& =\frac{1}{4}x^{4}e^{x^{2}}-\frac{1}{2}\int{x^{5}e^{x^{2}}\,dx} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
which just seems to make the integral harder. The solution is instead to substitute
+
Die Lösung ist, dass wir die Substitution
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<math>u=x^{2}</math>. If we write the integral as
+
<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
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<math>\int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}</math>
+
sehen wir, dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx
 +
&= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt]
 +
&= \left\{\begin{align}
 +
u &= x^2\\[5pt]
 +
du &= \bigl(x^2\bigr)'\,dx = 2x\,dx
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \int\limits_0^1 ue^u\tfrac{1}{2}\,du\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
we see that the expression
+
Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten.
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<math>''x\,dx''</math>
+
-
can be replaced by
+
-
<math>du</math>
+
-
and the rest of the integrand contains only
+
-
<math>x</math>
+
-
in the form of
+
-
<math>x^{\text{2}}</math>. The substitution gives
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\begin{align}
+
\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du
-
& \int\limits_{0}^{1}{x^{3}e^{x^{2}}\,dx}=\int\limits_{0}^{1}{x^{2}e^{x^{2}}x\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
+
&= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt]
-
u=x^{2} \\
+
&= \frac{1}{2}\bigl(1\cdot e^1-0\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_0^1\\[5pt]
-
du=\left( x^{2} \right)^{\prime }\,dx=2x\,dx \\
+
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
-
\end{matrix} \right\} \\
+
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
-
& =\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\frac{1}{2}\,du}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du} \\
+
&= \frac{1}{2}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
We can then calculate this integral be partial integration, where we differentiate away the factor
+
-
<math>u</math>:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{ue^{u}\,du}=\frac{1}{2}\left[ ue^{u} \right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{1\centerdot e^{u}\,du} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\left( 1\centerdot e^{1}-0 \right)-\frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} \\
+
-
& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}\left( e^{1}-e^{0} \right) \\
+
-
& =\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}e+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir \displaystyle x^3 ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von \displaystyle e^{x^2} finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir \displaystyle x^3 integrieren und \displaystyle e^{x^2} ableiten.

\displaystyle \begin{align}

\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx &= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt] &= \frac{1}{4}x^{4}e^{x^2} - \frac{1}{2}\int x^5e^{x^2}\,dx \end{align}

Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.

Die Lösung ist, dass wir die Substitution \displaystyle u=x^2 machen. Schreiben wir das Integral wie

\displaystyle \int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx

sehen wir, dass "\displaystyle x\,dx" mit \displaystyle du ersetzt werden kann, während \displaystyle x^2 durch u ersetzt wird. So erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx &= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt] &= \left\{\begin{align} u &= x^2\\[5pt] du &= \bigl(x^2\bigr)'\,dx = 2x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int\limits_0^1 ue^u\tfrac{1}{2}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor \displaystyle u ableiten.

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du &= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\bigl(1\cdot e^1-0\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_0^1\\[5pt] &= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{1}{2} \end{align}

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