Lösung 2.2:4a - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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+			Lösung 2.2:4a
			
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- {{NAVCONTENT_START}} + Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
- <center> [[Image:2_2_4a.gif]] </center> +  
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  + Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
  + &= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
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  + u &= x/2\\[5pt]
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  + &= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
  + = \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt] 
  + &= \frac{1}{2}\arctan u + C
  + = \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.} 
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner \displaystyle x^2+4 statt \displaystyle x^2+1 ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.





\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}


Durch die Substitution \displaystyle u=\tfrac{1}{2}x erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
&= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
= \left\{\begin{align}
u &= x/2\\[5pt]
du &= \tfrac{1}{2}\,dx
\end{align}\right\}\\[5pt] 
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
= \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt] 
&= \frac{1}{2}\arctan u + C
= \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.} 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:4a“
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-{{NAVCONTENT_START}}
+Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
-<center> [[Image:2_2_4a.gif]] </center>
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}
+Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
+&= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
+= \left\{\begin{align}
+u &= x/2\\[5pt]
+du &= \tfrac{1}{2}\,dx
+\end{align}\right\}\\[5pt]
+&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
+= \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
+&= \frac{1}{2}\arctan u + C
+= \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
&= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
= \left\{\begin{align}
u &= x/2\\[5pt]
du &= \tfrac{1}{2}\,dx
\end{align}\right\}\\[5pt] 
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
= \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt] 
&= \frac{1}{2}\arctan u + C
= \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.} 
\end{align}