Lösung 2.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The secret behind a successful substitution is to be able to recognize the integral as an expression of the type
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Die Ableitung von <math>x^2</math> ist <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math>. Daher substituieren wir <math>u=x^2</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u'\sin u\,dx</math>}}
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<math>\int{\left( \begin{matrix}
+
Wir erhalten
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\text{an}\quad \text{expression} \\
+
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\text{in}\quad u \\
+
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\end{matrix} \right)}\centerdot {u}'\,dx</math>,
+
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where
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>u=u\left( x \right)</math>
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\int 2x\sin x^2\,dx
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is the actual substitution. In the integral
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&=\left\{\begin{align}
-
 
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u &= x^2\\[5pt]
-
 
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du &= 2x\,dx
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<math>\int{2x\sin x^{2}\,dx}</math>
+
\end{align}\right\} = \int{\sin u\,du}\\[5pt]
-
 
+
&= -\cos u+C = -\cos x^2 + C\,\textrm{.}
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+
\end{align}</math>}}
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we see that the expression
+
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<math>x^{2}</math>
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is the argument for the sine function, as the same time as its derivative
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<math>\left( x^{2} \right)^{\prime }=2x</math>
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stands as a factor in front of sine. Therefore, if we set
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<math>u=x^{2}</math>, the integral, the integral will be of the form
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<math>\int{{u}'\sin u\,dx}</math>
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Thus, we can use
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<math>u=x^{2}</math>
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for the substitution:
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-
 
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<math>\begin{align}
+
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& \int{2x\sin x^{2}\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
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u=x^{2} \\
+
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du=2x\,dx \\
+
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\end{matrix} \right\}=\int{\sin u\,du} \\
+
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& =-\cos u+C=-\cos x^{2}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Die Ableitung von \displaystyle x^2 ist \displaystyle \bigl(x^2\bigr)'=2x. Daher substituieren wir \displaystyle u=x^2.

\displaystyle \int u'\sin u\,dx

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int 2x\sin x^2\,dx &=\left\{\begin{align} u &= x^2\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int{\sin u\,du}\\[5pt] &= -\cos u+C = -\cos x^2 + C\,\textrm{.} \end{align}

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