Lösung 2.2:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The integral is a standard integral, with
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Wenn wir die Substition <math>u=5x</math> ausführen, erhalten wir ein schon bekanntes Integral.
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<math>\text{5}x</math>
+
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as the argument of the cosine function. If we therefore substitute
+
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<math>u=\text{5}x</math>, we obtain the “correct” argument of the cosine,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^{\pi} \cos 5x\,dx = \left\{\begin{align}
 +
u &= 5x\\[5pt]
 +
du &= (5x)'\,dx = 5\,dx
 +
\end{align}\right\} = \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Hier haben wir <math>dx</math> mit <math>\tfrac{1}{5}\,du</math> ersetzt. Die Grenzen, die wir erhalten sind <math>u=5\cdot 0=0</math>
-
& \int\limits_{0}^{\pi }{\cos 5x\,dx=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
und <math>u=5\cdot \pi = 5\pi\,</math>.
-
u=\text{5}x \\
+
-
du=\left( 5x \right)^{\prime }\,dx=5\,dx \\
+
-
\end{array} \right\}} \\
+
-
& =\frac{1}{5}\int\limits_{0}^{5\pi }{\cos u\,du} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
As can be seen, the variable change replaced
+
Wir erhalten das Integral
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<math>dx</math>
+
-
by
+
-
<math>\frac{1}{5}\,du</math>
+
-
and the new limits of integration become
+
-
<math>u=5\centerdot 0=0</math>
+
-
and
+
-
<math>u=5\centerdot \pi =5\pi </math>.
+
-
Now, we have a standard integral which can easily compute:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du = \frac{1}{5}\Bigl[\ \sin u\ \Bigr]_0^{5\pi} = \frac{1}{5}( \sin 5\pi -\sin 0) = \frac{1}{5}(0-0) = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Hinweis: Zeichnen wir die Graphe von <math>y=\cos 5x</math>, sehen wir, dass die gesamte Fläche oberhalb der ''x''-Achse genauso groß ist wie die gesamte Fläche unterhalb der ''x''-Achse ist.
-
& \frac{1}{5}\int\limits_{0}^{5\pi }{\cos u\,du}=\frac{1}{5}\left[ \sin u \right]_{0}^{5\pi } \\
+
-
& =\frac{1}{5}\left( \sin 5\pi -\sin 0 \right)=\frac{1}{5}\left( 0-0 \right)=0 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
NOTE: if we draw the graph for
+
-
<math>y=\cos 5x</math>, we see also that the area between the curve and
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis above the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis is the same as the area under the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis.
+
-
 
+
[[Image:2_2_2_a.gif|center]]
[[Image:2_2_2_a.gif|center]]

Aktuelle Version

Wenn wir die Substition \displaystyle u=5x ausführen, erhalten wir ein schon bekanntes Integral.

\displaystyle \int\limits_0^{\pi} \cos 5x\,dx = \left\{\begin{align}

u &= 5x\\[5pt] du &= (5x)'\,dx = 5\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du

Hier haben wir \displaystyle dx mit \displaystyle \tfrac{1}{5}\,du ersetzt. Die Grenzen, die wir erhalten sind \displaystyle u=5\cdot 0=0 und \displaystyle u=5\cdot \pi = 5\pi\,.

Wir erhalten das Integral

\displaystyle \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du = \frac{1}{5}\Bigl[\ \sin u\ \Bigr]_0^{5\pi} = \frac{1}{5}( \sin 5\pi -\sin 0) = \frac{1}{5}(0-0) = 0\,\textrm{.}


Hinweis: Zeichnen wir die Graphe von \displaystyle y=\cos 5x, sehen wir, dass die gesamte Fläche oberhalb der x-Achse genauso groß ist wie die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse ist.

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