Lösung 2.1:5b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir können das Integral nicht direkt berechnen, aber verwenden wir die Halbwinkelformel erhalten wir
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Wir können das Integral nicht direkt berechnen, aber verwenden wir die Halbwinkelformel, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin^2\!x=\frac{1-\cos 2x}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin^2\!x=\frac{1-\cos 2x}{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Die rechte Seite besteht nur aus Termen die wir direkt integrieren können,
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Die rechte Seite besteht nur aus Termen, die wir direkt integrieren können.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \int\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} + C\\[5pt]
&= \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} + C\\[5pt]
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&= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\,\textrm{.}
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&= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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(Wir kompensieren hier für die innere Ableitung 2 im Term <math>\sin 2x\,</math>.)
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Wir kompensieren hier für die innere Ableitung 2 im Term <math>\sin 2x\,</math>.

Version vom 11:30, 27. Aug. 2009

Wir können das Integral nicht direkt berechnen, aber verwenden wir die Halbwinkelformel, erhalten wir

\displaystyle \sin^2\!x=\frac{1-\cos 2x}{2}\,\textrm{.}

Die rechte Seite besteht nur aus Termen, die wir direkt integrieren können.

\displaystyle \begin{align}

\int \sin^2\!x\,dx &= \int\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx\\[5pt] &= \int\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2} + C\\[5pt] &= \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\,\textrm{} \end{align}

Wir kompensieren hier für die innere Ableitung 2 im Term \displaystyle \sin 2x\,.

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