Lösung 2.1:4e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass ''y'' zwischen den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=x^2</math> liegt.
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In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.
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Die Fläche des Gebietes ist
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wobei <math>x=a</math> und <math>x=b</math> die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten
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y &= x+2\,,\\[5pt]
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y &= x^2\,\textrm{.}
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\end{align} \right.</math>}}
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Eliminieren wir <math>y</math>, erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
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Hohlen wir alle ''x''-Terme zu einer Seite erhalten wir
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Durch quadratische Ergänzung ergibt sich
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= 2\\[5pt]
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\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Wir erhalten also die Wurzeln <math>x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}</math>, oder <math>x=-1</math> und <math>x=2\,</math>.
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Die Fläche ist also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Fläche}
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&= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt]
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&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt]
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&= \frac{2^2}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^3}{3} - \Bigl( \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr)\\[5pt]
 +
&= 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\\[5pt]
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&= \frac{9}{2}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass y zwischen den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=x^2 liegt.

In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.

Die Fläche des Gebietes ist

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{,}

wobei \displaystyle x=a und \displaystyle x=b die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= x+2\,,\\[5pt] y &= x^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

Eliminieren wir \displaystyle y, erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung

\displaystyle x^{2}=x+2\,\textrm{.}

Hohlen wir alle x-Terme zu einer Seite erhalten wir

\displaystyle x^2-x=2\,.

Durch quadratische Ergänzung ergibt sich

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= 2\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also die Wurzeln \displaystyle x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}, oder \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=2\,.

Die Fläche ist also

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt] &= \frac{2^2}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^3}{3} - \Bigl( \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr)\\[5pt] &= 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{9}{2}\,\textrm{.} \end{align}

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