Lösung 2.1:4d

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We start by drawing the three curves:
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Wir zeichnen die Kurven.
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When we draw the curves on the same diagram, we see that the region is bounded from below in the ''y''-direction by the horizontal line <math>y=1</math> and above partly by <math>y=x+2</math> and partly by <math>y=1/x\,</math>.
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Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden <math>y=1</math> begrenzt ist und oben von den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x\,</math>.
[[Image:2_1_4_d2.gif|center]]
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If we denote the ''x''-coordinates of the intersection points between the curves by <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=c</math>, as shown in the figure, we see that the region can be divided up into two parts. In the left part between <math>x=a</math> and <math>x=b</math>, the upper limit is <math>y=x+2</math>, whilst in the right part between <math>x=b</math> and <math>x=c</math> the curve <math>y=1/x</math> is the upper limit.
+
Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, wo die obere Grenze <math>y=x+2</math> ist und eine zwischen <math>x=b</math> und <math>x=c</math> wo <math>y=1/x</math> die obere Grenze ist.
[[Image:2_1_4_d3.gif|center]]
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The area of each part is given by the integrals
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Die Flächen dieser Gebiete sind
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{Left area} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,,\\[5pt]
+
\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt]
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\text{Right area} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,,
+
\text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and the total area is the sum of these areas.
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Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.
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If we just manage to determine the curves' points of intersection, the rest is just a matter of integration.
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Wir suchen also die Schnittstellen:
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To determine the points of intersection:
+
-
 
+
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*<math>x=a</math>: The point of intersection between <math>y=1</math> and <math>y=x+2</math> must satisfy both equations of the lines,
+
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*<math>x=a</math>: Die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=x+2</math> erfüllt beide Gleichungen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
y &= 1\,,\\[5pt]
y &= 1\,,\\[5pt]
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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:This gives that <math>x</math> must satisfy <math>x+2=1</math>, i.e. <math>x=-1\,</math>. Thus, <math>a=-1\,</math>.
+
:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.
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*<math>x=b</math>: At the point where the curves <math>y=x+2</math> and <math>y=1/x</math> meet, we have that
+
*<math>x=b</math>: Die Schnittstelle von <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x</math> erfüllt beide Gleichungen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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:If we eliminate <math>y</math>, we obtain an equation for <math>x</math>,
+
:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}
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:which we multiply by <math>x</math>,
+
:die wir mit <math>x</math> multiplizieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}
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:Completing the square of the left-hand side,
+
:Quadratische Ergänzung ergibt:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,,\\[5pt]
+
(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt]
-
(x+1)^2 &= 2\,,
+
(x+1)^2 &= 2\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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:and taking the square root gives that <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, leading to
+
:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math> und dies ergibt
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<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (The alternative <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
+
<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
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lies to the left of <math>x=a\,</math>.)
+
liegt links von <math>x=a\,</math>.)
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*<math>x=c</math>: The final point of intersection is given by the condition that the equation to both curves, <math>y=1</math> and <math>y=1/x\,</math>, are satisfied simultaneously. We see almost immediately that this gives <math>x=1\,</math>, i.e. <math>c=1\,</math>.
+
*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, daher <math>c=1\,</math>.
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The sub-areas are
+
Die Teilflächen sind also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Left area}
+
\text{Linke Fläche}
&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]
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&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
-
&= 1\,,\\[10pt]
+
&= 1\,\textrm{.}\\[10pt]
-
\text{Right area}
+
\text{Rechte Fläche}
&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]
&= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The total area is
+
Die gesamte Fläche ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{Area}
+
\text{Fläche}
-
&= \text{(left area)} + \text{(right area)}\\[5pt]
+
&= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt]
&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]
&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden \displaystyle y=1 begrenzt ist und oben von den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x\,.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b, wo die obere Grenze \displaystyle y=x+2 ist und eine zwischen \displaystyle x=b und \displaystyle x=c wo \displaystyle y=1/x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete sind

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\, \end{align}

Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

  • \displaystyle x=a: Die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:
\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= 1\,,\\[5pt] y &= x+2\,\textrm{.} \end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x+2=1, also \displaystyle x=-1\,. Daher ist \displaystyle a=-1\,.


  • \displaystyle x=b: Die Schnittstelle von \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x erfüllt beide Gleichungen:
\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= x+2\,,\\[5pt] y &= 1/x\,\textrm{.} \end{align}\right.

Eliminieren wir \displaystyle y erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung
\displaystyle x+2=\frac{1}{x}\,,
die wir mit \displaystyle x multiplizieren,
\displaystyle x^{2}+2x=1\,\textrm{.}
Quadratische Ergänzung ergibt:
\displaystyle \begin{align}

(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt] (x+1)^2 &= 2\,. \end{align}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle x=-1\pm \sqrt{2} und dies ergibt

\displaystyle b=-1+\sqrt{2}. (Die Lösung \displaystyle b=-1-\sqrt{2} liegt links von \displaystyle x=a\,.)


  • \displaystyle x=c: Dies ist die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=1/x\,, also ist \displaystyle x=1\,, daher \displaystyle c=1\,.


Die Teilflächen sind also

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Fläche} &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1\,\textrm{.}\\[10pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt] &= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt] &= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Die gesamte Fläche ist

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

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