Lösung 2.1:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
We start by drawing the three curves:
+
Wir zeichnen die Kurven.
[[Image:2_1_4_d1.gif|center]]
[[Image:2_1_4_d1.gif|center]]
-
When we draw the curves on the same diagram, we see that the region is bounded from below in the
+
Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden <math>y=1</math> begrenzt ist und oben von den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x\,</math>.
-
<math>y</math>
+
-
-direction by the horizontal line
+
-
<math>y=\text{1}</math>
+
-
and above partly by
+
-
<math>y=x+2</math>
+
-
and partly by
+
-
<math>y=\frac{1}{x}</math>.
+
-
 
+
[[Image:2_1_4_d2.gif|center]]
[[Image:2_1_4_d2.gif|center]]
-
If we denote the
+
Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math>, wo die obere Grenze <math>y=x+2</math> ist und eine zwischen <math>x=b</math> und <math>x=c</math> wo <math>y=1/x</math> die obere Grenze ist.
-
<math>x</math>
+
-
-coordinates of the intersection points by
+
-
<math>x=a</math>,
+
-
<math>x=b</math>
+
-
and
+
-
<math>x=c</math>, as shown in the figure, we see that the region can be divided up into two parts. In the left part between
+
-
<math>x=a</math>
+
-
and
+
-
<math>x=b</math>, the upper limit is
+
-
<math>y=x+2</math>, whilst in the right part between
+
-
<math>x=b</math>
+
-
and
+
-
<math>x=c</math>
+
-
+
-
<math>y={1}/{x}\;</math>
+
-
is the upper limit.
+
-
 
+
[[Image:2_1_4_d3.gif|center]]
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-
The area of each part is given by the integrals
+
Die Flächen dieser Gebiete sind
-
 
+
-
Left area
+
-
<math>=\int\limits_{a}^{b}{\left( x+2-1 \right)}\,dx</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Right area
+
-
<math>=\int\limits_{b}^{c}{\left( \frac{1}{x}-1 \right)}\,dx</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and the total area is the sum of these areas.
+
-
 
+
-
If we just manage to determine the curves' points of intersection, the rest is just a matter of integration.
+
-
 
+
-
To determine the points of intersection:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=a</math>: the point of intersection between
+
-
<math>y=\text{1 }</math>
+
-
and
+
-
<math>y=x+\text{2}</math>
+
-
must both satisfy the equations of the lines
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
y=\text{1} \\
+
-
y=x+\text{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This gives that
+
-
<math>x</math>
+
-
must satisfy
+
-
<math>x+\text{2}=\text{1}</math>, i.e.
+
-
<math>x=-\text{1 }</math>
+
-
Thus,
+
-
<math>a=-\text{1}</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=b</math>: At the point where the curves
+
-
<math>y=x+\text{2}</math>
+
-
and
+
-
<math>y={1}/{x}\;</math>
+
-
meet, we have that
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
y=x+\text{2} \\
+
-
y={1}/{x}\; \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
If we eliminate
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>y</math>, we obtain an equation for
+
\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt]
-
<math>x</math>,
+
\text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\,
 +
\end{align}</math>}}
 +
Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.
-
<math>x+2=\frac{1}{x}</math>,
+
Wir suchen also die Schnittstellen:
-
which we multiply by
+
*<math>x=a</math>: Die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=x+2</math> erfüllt beide Gleichungen:
-
<math>x</math>,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
y &= 1\,,\\[5pt]
 +
y &= x+2\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
:Dies ergibt <math>x+2=1</math>, also <math>x=-1\,</math>. Daher ist <math>a=-1\,</math>.
-
<math>x^{2}+2x=1</math>
 
 +
*<math>x=b</math>: Die Schnittstelle von <math>y=x+2</math> und <math>y=1/x</math> erfüllt beide Gleichungen:
-
Completing the square of the left-hand side,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
y &= x+2\,,\\[5pt]
 +
y &= 1/x\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
:Eliminieren wir <math>y</math> erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x+2=\frac{1}{x}\,,</math>}}
-
& \left( x+1 \right)^{2}-1^{2}=1 \\
+
-
& \left( x+1 \right)^{2}=2 \\
+
-
\end{align}</math>,
+
-
and taking the root gives that
+
:die wir mit <math>x</math> multiplizieren,
-
<math>x=-1\pm \sqrt{2}</math>, leading to
+
-
<math>b=-1+\sqrt{2}</math>
+
-
(the alternative
+
-
<math>b=-1-\sqrt{2}</math>
+
-
lies to the left of
+
-
<math>b=a</math>).
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x=1\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>x=c</math>: the final point of intersection is given by the condition that the equation to both curves,
+
:Quadratische Ergänzung ergibt:
-
<math>y=\text{1}</math>
+
-
and
+
-
<math>y={1}/{x}\;</math>, are satisfied simultaneously. We see almost immediately that this gives
+
-
<math>x=\text{1}</math>, i.e.
+
-
<math>c=\text{ 1}</math>.
+
-
The sub-areas are
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt]
 +
(x+1)^2 &= 2\,.
 +
\end{align}</math>}}
 +
:Die Wurzeln sind daher <math>x=-1\pm \sqrt{2}</math> und dies ergibt
 +
<math>b=-1+\sqrt{2}</math>. (Die Lösung <math>b=-1-\sqrt{2}</math>
 +
liegt links von <math>x=a\,</math>.)
-
<math>\begin{align}
 
-
& \text{Leftarea }=\text{ }\int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1}{\left( x+2-1 \right)}\,dx=\int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1}{\left( x+1 \right)}\,dx \\
 
-
& =\left[ \frac{x^{2}}{2}+x \right]_{-1}^{\sqrt{2}-1} \\
 
-
& =\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}}{2}+\sqrt{2}-1-\left( \frac{\left( -1 \right)^{2}}{2}+\left( -1 \right) \right) \\
 
-
& =\frac{\left( \sqrt{2} \right)^{2}-2\sqrt{2}+1}{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}+1 \\
 
-
& =\frac{2-2\sqrt{2}+1}{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}+1 \\
 
-
& =1-\sqrt{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}+1 \\
 
-
& =1 \\
 
-
\end{align}</math>
 
 +
*<math>x=c</math>: Dies ist die Schnittstelle von <math>y=1</math> und <math>y=1/x\,</math>, also ist <math>x=1\,</math>, daher <math>c=1\,</math>.
-
<math>\begin{align}
+
Die Teilflächen sind also
-
& \text{Rightarea }=\int\limits_{\sqrt{2}-1}^{1}{\left( \frac{1}{x}-1 \right)}\,dx=\left[ \ln \left| x \right|-x \right]_{\sqrt{2}-1}^{1} \\
+
-
& =\ln 1-1-\left( \ln \left( \sqrt{2}-1 \right)-\left( \sqrt{2}-1 \right) \right) \\
+
-
& =0-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)+\sqrt{2}-1 \\
+
-
& =\sqrt{2}-2-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\text{Linke Fläche}
 +
&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt]
 +
&= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt]
 +
&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt]
 +
&= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt]
 +
&= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
 +
&= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
 +
&= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt]
 +
&= 1\,\textrm{.}\\[10pt]
 +
\text{Rechte Fläche}
 +
&= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt]
 +
&= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt]
 +
&= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt]
 +
&= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt]
 +
&= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
The total area is
+
Die gesamte Fläche ist
-
Area = (left area +right area)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
+
\text{Fläche}
-
<math>\begin{align}
+
&= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt]
-
& =1+\sqrt{2}-2-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
+
&= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt]
-
& =\sqrt{2}-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
+
&= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir, dass die Fläche unten von der Geraden \displaystyle y=1 begrenzt ist und oben von den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x\,.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so, dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b, wo die obere Grenze \displaystyle y=x+2 ist und eine zwischen \displaystyle x=b und \displaystyle x=c wo \displaystyle y=1/x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete sind

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Fläche} &= \int\limits_a^b (x+2-1)\,dx\,\\[5pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_b^c \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\, \end{align}

Die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

  • \displaystyle x=a: Die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:
\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= 1\,,\\[5pt] y &= x+2\,\textrm{.} \end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x+2=1, also \displaystyle x=-1\,. Daher ist \displaystyle a=-1\,.


  • \displaystyle x=b: Die Schnittstelle von \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=1/x erfüllt beide Gleichungen:
\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= x+2\,,\\[5pt] y &= 1/x\,\textrm{.} \end{align}\right.

Eliminieren wir \displaystyle y erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung
\displaystyle x+2=\frac{1}{x}\,,
die wir mit \displaystyle x multiplizieren,
\displaystyle x^{2}+2x=1\,\textrm{.}
Quadratische Ergänzung ergibt:
\displaystyle \begin{align}

(x+1)^2 - 1^2 &= 1\,\\[5pt] (x+1)^2 &= 2\,. \end{align}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle x=-1\pm \sqrt{2} und dies ergibt

\displaystyle b=-1+\sqrt{2}. (Die Lösung \displaystyle b=-1-\sqrt{2} liegt links von \displaystyle x=a\,.)


  • \displaystyle x=c: Dies ist die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=1/x\,, also ist \displaystyle x=1\,, daher \displaystyle c=1\,.


Die Teilflächen sind also

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Fläche} &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1\,\textrm{.}\\[10pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt] &= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt] &= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Die gesamte Fläche ist

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:4d“