Lösung 2.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (11:02, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
First, we need a picture of what the region looks like.
+
Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt.
-
 
+
Die Kurven <math>y=x^2/4+2</math> und <math>y=8-x^2/8</math> sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum <math>y=2</math> wenn <math>x=0</math> und die zweite das Maximum <math>y=8</math> wenn <math>x=0</math>. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.
-
Both curves, <math>y=x^2/4+2</math> and <math>y=8-x^2/8</math>, are parabolas, the first with a minimum value <math>y=2</math> when <math>x=0</math>, and the second with a maximum value of <math>y=8</math> when <math>x=0</math>. Roughly speaking, the curves have the appearance shown in the figure below, where the shaded region whose area we are trying to find lies between the curves.
+
[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
-
The region is bounded above by the parabola <math>y=8-x^2/8</math> and below by the parabola <math>y=x^2/4+2</math>. If we can determine the ''x''-coordinates, <math>x=a</math> and <math>x=b</math>, for the points of intersection between the curves, the area we are looking for will be given by
+
Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion <math>y=8-x^2/8</math> und die untere Grenze die Funktion <math>y=x^2/4+2</math>. Bestimmen wir die Schnittstellen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> der beiden Kurven, ist die Fläche
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-
The integrand is the ''y''-value for the upper parabola minus the corresponding ''y''-value for the lower parabola.
+
Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.
-
At the points where the curves intersect each other, the ''x''- and ''y''-coordinates are equal, which gives the equation system,
+
Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt]
+
y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt]
-
y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}
+
y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
If we eliminate ''y'' from this system, we get the following equation for ''x'',
+
Eliminieren wir ''y'' und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen.
-
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,</math>}}
-
If we move the <math>x^2</math>-terms onto one side and the constants onto the other, we obtain
+
oder
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,</math>,}}
-
i.e.
+
also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,,\\[5pt]
+
\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,\\[5pt]
-
\tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,,\\[5pt]
+
\tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,\\[5pt]
x^2 &= 16\,\textrm{.}
x^2 &= 16\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The ''x''-coordinates of the points of intersection are therefore equal to <math>x=-4</math> and <math>x=4\,</math>.
+
Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
-
The area of the area between the curves is given by
+
Die Fläche zwischen den Kurven ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{Area} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt]
+
\text{Fläche} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt]

Aktuelle Version

Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt. Die Kurven \displaystyle y=x^2/4+2 und \displaystyle y=8-x^2/8 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum \displaystyle y=2 wenn \displaystyle x=0 und die zweite das Maximum \displaystyle y=8 wenn \displaystyle x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.

Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion \displaystyle y=8-x^2/8 und die untere Grenze die Funktion \displaystyle y=x^2/4+2. Bestimmen wir die Schnittstellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b der beiden Kurven, ist die Fläche

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.

Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:

\displaystyle \left\{\begin{align} 
y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt]
y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}

\end{align}\right.

Eliminieren wir y und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen.

\displaystyle 8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,

oder

\displaystyle \tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,

also ist

\displaystyle \begin{align}

\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,\\[5pt] \tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,\\[5pt] x^2 &= 16\,\textrm{.} \end{align}

Also sind die Schnittstellen \displaystyle x=-4 und \displaystyle x=4\,.

Die Fläche zwischen den Kurven ist also

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\frac{3}{8}x^2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ 6x-\frac{3}{8}\frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-4}^{4}\\[5pt] &= \Bigl[\ 6x-\frac{x^3}{8}\ \Bigr]_{-4}^{4}\\[5pt] &= 6\cdot 4 - \frac{4^3}{8} - \Bigl(6\cdot (-4) - \frac{(-4)^3}{8}\Bigr)\\[5pt] &= 24-8+24-8\\[5pt] &= 32\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:4c“