Lösung 2.1:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 5: | Zeile 5: | ||
&= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] | &= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] | ||
&= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] | &= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] | ||
| - | &= -(x-1)^2 + 3 | + | &= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| Zeile 12: | Zeile 12: | ||
[[Image:2_1_4_b.gif|center]] | [[Image:2_1_4_b.gif|center]] | ||
| - | + | Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert. | |
Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral | Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral | ||
| Zeile 18: | Zeile 18: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}} | ||
| - | + | wobei ''a'' und ''b'' die Schnittstellen der Parabel und der ''x''-Achse sind, also die Wurzeln von | |
{{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}} | ||
| - | oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben) | + | oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben) |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}</math>}} |
also | also | ||
| Zeile 42: | Zeile 42: | ||
So erhalten wir die Stammfunktion | So erhalten wir die Stammfunktion | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\, | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,</math>.}} |
| - | + | Daraus folgt | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
y &= -x^2 + 2x + 2\\[5pt] &= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] &= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] &= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.} \end{align} |
Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle y=3 bei \displaystyle x=1 ist.
Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.
Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral
| \displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,, |
wobei a und b die Schnittstellen der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von
| \displaystyle 0=-x^{2}+2x+2 |
oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)
| \displaystyle 0=-(x-1)^2+3 \textrm{,} |
also
| \displaystyle (x-1)^2=3\,\textrm{.} |
Die Gleichung hat also die Wurzeln \displaystyle x = 1\pm \sqrt{3}\ , \displaystyle x=1-\sqrt{3} und \displaystyle x=1+\sqrt{3}\.
Die Fläche ist also
| \displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.} |
Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.
| \displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,, |
So erhalten wir die Stammfunktion
| \displaystyle \text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,. |
Daraus folgt
| \displaystyle \begin{align}
\text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= (-1+3-1+3)\sqrt{3}\\[5pt] &= 4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align} |
Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck
| \displaystyle \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots |
rechnen.
