Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	By completing the square of the equation of the curve	+	Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt]		&= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt]
	&= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt]		&= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt]
-	&= -(x-1)^2 + 3	+	&= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	we can read off that the curve is a downward parabola with maximum value <math>y=3</math> when <math>x=1</math>.	+	Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum <math>y=3</math> bei <math>x=1</math> ist.
	[[Image:2_1_4_b.gif|center]]		[[Image:2_1_4_b.gif|center]]
-	The region whose area we shall determine is the one shaded in the figure.	+	Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.
-	We can express this area using the integral	+	Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}
-	where ''a'' and ''b'' are the ''x''-coordinates for the points of intersection between the parabola and the ''x''-axis.	+	wobei ''a'' und ''b'' die Schnittstellen der Parabel und der ''x''-Achse sind, also die Wurzeln von
-		+
-	A solution plan is to first determine the intersection points, <math>x=a</math>	+
-	and <math>x=b</math>, and then calculate the area using the integral formula above.	+
-		+
-	The parabola cuts the ''x''-axis when its ''y''-coordinate is zero, i.e.	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}}
-	and because we have already completed the square of the right-hand side once, the equation can be written as	+	oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)
-	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}</math>}}
-	or	+	also
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}}
-	Taking the square root gives <math>x = 1\pm \sqrt{3}\,</math>. The points of intersection are <math>x=1-\sqrt{3}</math> and <math>x=1+\sqrt{3}\,</math>.	+	Die Gleichung hat also die Wurzeln <math>x = 1\pm \sqrt{3}\</math> , <math>x=1-\sqrt{3}</math> und <math>x=1+\sqrt{3}\</math>.
-	The area we are looking for is therefore given by	+	Die Fläche ist also
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-	Instead of directly starting to calculate, we can start from the integrand in the form we obtain after completing its square,	+	Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,</math>}}
-	which seems easier. Because the expression <math>x-1</math> inside the square is a linear expression, we can write down a primitive function “in the usual way”,	+	So erhalten wir die Stammfunktion
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,</math>.}}
-	(If one is uncertain of this step, it is possible to differentiate the primitive function and see that one really does get the integrand back). Hence,	+	Daraus folgt
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\text{Area} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt]	+	\text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt]
	&= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt]		&= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt]
	&= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]		&= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]
Zeile 61:		Zeile 56:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-		+	Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck
-	Note: The calculations become a lot more complicated if one starts from	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}}
		+
		+	rechnen.

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Aktuelle Version

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align} y &= -x^2 + 2x + 2\\[5pt] &= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] &= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] &= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.} \end{align}

Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle y=3 bei \displaystyle x=1 ist.

Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.

Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,

wobei a und b die Schnittstellen der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

\displaystyle 0=-x^{2}+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)

\displaystyle 0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}

also

\displaystyle (x-1)^2=3\,\textrm{.}

Die Gleichung hat also die Wurzeln \displaystyle x = 1\pm \sqrt{3}\ , \displaystyle x=1-\sqrt{3} und \displaystyle x=1+\sqrt{3}\.

Die Fläche ist also

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,

So erhalten wir die Stammfunktion

\displaystyle \text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,.

Daraus folgt

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= (-1+3-1+3)\sqrt{3}\\[5pt] &= 4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck

\displaystyle \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots

rechnen.