Lösung 2.1:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
If we draw the curve
+
Zeichnen wir die Funktion <math>y=\sin x</math>, sehen wir, dass die Funktion bis <math>x=\pi </math> oberhalb der ''x''-Achse liegt und danach unterhalb.
-
<math>y=\sin x</math>, we see that the curve lies above the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis as far as
+
-
<math>x=\pi </math>
+
-
and then lies under the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis.
+
-
 
+
-
 
+
[[Image:2_1_4_a1.gif|center]]
[[Image:2_1_4_a1.gif|center]]
-
The area of the region between
+
Die Fläche vom Gebiet zwischen <math>x=0</math> und <math>x=\pi</math> ist deshalb
-
<math>x=0</math>
+
-
and
+
-
<math>x=\pi </math>
+
-
can therefore be written as
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\int\limits_{0}^{\pi }{\sin x}\,dx</math>
+
-
 
+
-
whilst the area of the remaining region under the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis is equal to
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>-\int\limits_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;}{\sin x}\,dx</math>
+
-
 
+
-
(note the minus sign in front of the integral).
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx</math>}}
-
The total area becomes
+
während die Fläche vom restierenden Gebiet
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\textrm{,}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
ist (beachte das Minuszeichen).
-
& \int\limits_{0}^{\pi }{\sin x}\,dx-\int\limits_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;}{\sin x}\,dx \\
+
-
& =\left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi }-\left[ -\cos x \right]_{\pi }^{{5\pi }/{4}\;} \\
+
-
& =\left( -\cos \pi -\left( -\cos 0 \right) \right)-\left( -\cos \frac{5\pi }{4}-\left( -\cos \pi \right) \right) \\
+
-
& =\left( -\left( -1 \right)-\left( -1 \right) \right)-\left( -\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)-\left( -\left( -1 \right) \right) \right) \\
+
-
& =1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+1=3-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Die gesamte Fläche ist also
-
NOTE: a simple way to obtain the values of
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\cos 0</math>,
+
& \int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\\[5pt]
-
<math>\cos \pi </math>
+
&\qquad\quad {}= \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_0^\pi - \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_\pi^{5\pi/4}\\[5pt]
-
and
+
&\qquad\quad {}= \Bigl( -\cos\pi - (-\cos 0)\Bigr) - \Bigl( -\cos\frac{5\pi}{4} - (-\cos\pi) \Bigr)\\[5pt]
-
<math>\cos \frac{5\pi }{4}</math>
+
&\qquad\quad {}= \Bigl( -(-1)-(-1) \Bigr) - \Bigl( -\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \Bigr) - \bigl(-(-1)\bigr)\Bigr)\\[5pt]
-
is to draw the angles
+
&\qquad\quad {}= 1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+1\\[5pt]
-
<math>0</math>,
+
&\qquad\quad {}= 3-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\textrm{.}
-
<math>\pi </math>
+
\end{align}</math>}}
-
and
+
-
<math>\frac{5\pi }{4}</math>
+
-
on a unit circle and to read off the cosine value as the
+
-
<math>x</math>
+
-
-coordinate for the corresponding point on the circle.
+
 +
Hinweis: Die exakten Werte von <math>\cos 0</math>, <math>\cos \pi </math> und <math>\cos (5\pi/4)</math> können wir durch den Einheitskreis erhalten, indem wir die Winkeln <math>0</math>, <math>\pi</math> und <math>5\pi/4</math> einzeichnen und deren ''x''-Koordinaten ablesen.
[[Image:2_1_4_a2.gif|center]]
[[Image:2_1_4_a2.gif|center]]

Aktuelle Version

Zeichnen wir die Funktion \displaystyle y=\sin x, sehen wir, dass die Funktion bis \displaystyle x=\pi oberhalb der x-Achse liegt und danach unterhalb.

Die Fläche vom Gebiet zwischen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\pi ist deshalb

\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx

während die Fläche vom restierenden Gebiet

\displaystyle -\int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\textrm{,}

ist (beachte das Minuszeichen).

Die gesamte Fläche ist also

\displaystyle \begin{align}

& \int\limits_{0}^{\pi} \sin x\,dx - \int\limits_{\pi}^{5\pi/4} \sin x\,dx\\[5pt] &\qquad\quad {}= \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_0^\pi - \Bigl[\ -\cos x\ \Bigr]_\pi^{5\pi/4}\\[5pt] &\qquad\quad {}= \Bigl( -\cos\pi - (-\cos 0)\Bigr) - \Bigl( -\cos\frac{5\pi}{4} - (-\cos\pi) \Bigr)\\[5pt] &\qquad\quad {}= \Bigl( -(-1)-(-1) \Bigr) - \Bigl( -\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \Bigr) - \bigl(-(-1)\bigr)\Bigr)\\[5pt] &\qquad\quad {}= 1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}+1\\[5pt] &\qquad\quad {}= 3-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Die exakten Werte von \displaystyle \cos 0, \displaystyle \cos \pi und \displaystyle \cos (5\pi/4) können wir durch den Einheitskreis erhalten, indem wir die Winkeln \displaystyle 0, \displaystyle \pi und \displaystyle 5\pi/4 einzeichnen und deren x-Koordinaten ablesen.

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