Lösung 3.2:6e - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 3.2:6e
			
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- {{NAVCONTENT_STOP}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
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  + und erhalten
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  + \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
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  + &= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
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  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.





\displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}


Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
 
und erhalten





\displaystyle \begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] 
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6e“
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+Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.
-<center> [[Bild:3_2_6e-1(2).gif]] </center>
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-{{NAVCONTENT_START}}
-<center> [[Bild:3_2_6e-2(2).gif]] </center>
+Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+[[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
+und erhalten
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
+&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt]
+&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
+&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] 
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} 
\end{align}