Lösung 3.2:6e - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we manage to write the numerator and denominator in polar form, we can then use the fact that when division is carried out in polar form it is particularly simple. Division means, namely, that the numerator's magnitude is divided by the denominator's magnitude and that the numerator's argument is subtracted from denominator's argument or, in written form, + Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
  
- Thus, we determine the numerator's and denominator's polar forms: + Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
  
 [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]  [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
  
- Now, we obtain + und erhalten
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Aktuelle Version
Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.





\displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}


Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
 
und erhalten





\displaystyle \begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] 
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6e“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we manage to write the numerator and denominator in polar form, we can then use the fact that when division is carried out in polar form it is particularly simple. Division means, namely, that the numerator's magnitude is divided by the denominator's magnitude and that the numerator's argument is subtracted from denominator's argument or, in written form, + Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
  
- Thus, we determine the numerator's and denominator's polar forms: + Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
  
 [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]  [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
  
- Now, we obtain + und erhalten
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Aktuelle Version
Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.





\displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}


Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
 
und erhalten





\displaystyle \begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] 
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6e“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we manage to write the numerator and denominator in polar form, we can then use the fact that when division is carried out in polar form it is particularly simple. Division means, namely, that the numerator's magnitude is divided by the denominator's magnitude and that the numerator's argument is subtracted from denominator's argument or, in written form, + Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
  
- Thus, we determine the numerator's and denominator's polar forms: + Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
  
 [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]  [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
  
- Now, we obtain + und erhalten
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Aktuelle Version
Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.





\displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}


Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
 
und erhalten





\displaystyle \begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] 
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} 
\end{align}




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-If we manage to write the numerator and denominator in polar form, we can then use the fact that when division is carried out in polar form it is particularly simple. Division means, namely, that the numerator's magnitude is divided by the denominator's magnitude and that the numerator's argument is subtracted from denominator's argument or, in written form,
+Wenn wir den Zähler und den Nenner auf Polarform bringen, können wir die Division einfach ausführen, indem wir die Betrage dividieren und die Argumente subtrahieren.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-Thus, we determine the numerator's and denominator's polar forms:
+Daher schreiben wir den Zähler und den Nenner in Polarform:
 [[Image:3_2_6_e_bild.gif]] [[Image:3_2_6_e_bildtext.gif]]
-Now, we obtain
+und erhalten
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \displaystyle \frac{r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)}{r_2(\cos\beta+i\sin\beta)} = \frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos (\alpha-\beta) + i\sin (\alpha-\beta)\bigr)\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}
&= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{\sqrt{2}\Bigl(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr)}\\[5pt] 
&= \frac{2}{\sqrt{2}}\Bigl( \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl( \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\Bigr)\,\textrm{.} 
\end{align}