Lösung 3.2:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Geometrisch ist das Argument von | + | Geometrisch ist das Argument von einem Produkt, die Summe der Argumente der beiden Terme. Also ist das Argument von <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> die Summe der Argumente von <math>\sqrt{3}+i</math> und <math>1-i</math>, |
{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, | + | Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen. |
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Version vom 16:31, 22. Aug. 2009
Geometrisch ist das Argument von einem Produkt, die Summe der Argumente der beiden Terme. Also ist das Argument von \displaystyle (\sqrt{3}+i)(1-i) die Summe der Argumente von \displaystyle \sqrt{3}+i und \displaystyle 1-i,
| \displaystyle \arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.} |
Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.
(Nachdem \displaystyle 1-i im vierten Quadrant liegt, is das Argument \displaystyle -\beta und nicht \displaystyle \beta.)
Daher erhalten wir,
| \displaystyle \arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.} |
Hinweis: Wenn wir das Argument wie ein Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi schreiben, ist die Antwort
| \displaystyle -\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.} |
