Lösung 3.1:4f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung sind, können wir <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
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und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
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Die linke Seite der Gleichung wird dann
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(1+i)(x-iy)+i(x+iy)
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&= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt]
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&= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt]
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also ist die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
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Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
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Dies ergibt <math>x=3</math> und <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Also ist die Lösung der Gleichung <math>z=3+i</math>.
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Dies überprüfen wir einfach, indem wir <math>z=3+i</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Linke Seite}
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&= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt]
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&= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt]
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&= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt]
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&= 3+5i\\[5pt]
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&= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Nachdem \displaystyle z und \displaystyle \bar{z} in der Gleichung sind, können wir \displaystyle z (oder \displaystyle \bar{z}) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen

\displaystyle z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil \displaystyle x und den Imaginärteil \displaystyle y.

Die linke Seite der Gleichung wird dann

\displaystyle \begin{align}

(1+i)(x-iy)+i(x+iy) &= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt] &= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt] &= x+(2x-y)i \end{align}

also ist die Gleichung

\displaystyle x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x=3 und \displaystyle y=2x-5=2\cdot 3-5=1. Also ist die Lösung der Gleichung \displaystyle z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir \displaystyle z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt] &= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt] &= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt] &= 3+5i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

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