Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	If we multiply both sides by <math>z+i</math>, we avoid having <math>z</math> in the denominator,	+	Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z+i</math>, und werden dadurch <math>z</math> im Nenner los,
	{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1=(3+i)(z+i)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1=(3+i)(z+i)\,\textrm{.}</math>}}
-	At the same time, this means that we are now working with a new equation which is not necessarily entirely equivalent with the original equation. Should the new equation show itself to have <math>z=-i</math> as a solution, then we must ignore that solution, because our initial equation cannot possibly have <math>z=-i</math> as a solution (the denominator of the left-hand side becomes zero).	+	Dies bedeutet aber, dass wir eine neue Gleichung haben, die nicht äquivalent mit der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn die neue Gleichung eine Lösung <math>z=-i</math> hat, kann dies unmöglich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein, nachdem der Nenner dann 0 wäre.
-	We expand the right-hand side in the new equation,	+	Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,
	{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,</math>}}
-	and move all the terms in <math>z</math> over to the left-hand side and the constants to the right-hand side,	+	und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Then, we obtain	+	Wir erhalten also,
	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}</math>}}
-	It is a little troublesome to divide two complex numbers, so we will therefore not check whether <math>z=\tfrac{2}{3}-i</math> is a solution to the original equation, but satisfy ourselves with substituting into the equation <math>iz+1=(3+i)(z+i)</math>,	+	Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung <math>iz+1=(3+i)(z+i)</math>,
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\text{LHS} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt]	+	\text{Linke Seite} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt]
-	\text{RHS} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.}	+	\text{Rechte Seite} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z+i, und werden dadurch \displaystyle z im Nenner los,

\displaystyle iz+1=(3+i)(z+i)\,\textrm{.}

Dies bedeutet aber, dass wir eine neue Gleichung haben, die nicht äquivalent mit der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn die neue Gleichung eine Lösung \displaystyle z=-i hat, kann dies unmöglich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein, nachdem der Nenner dann 0 wäre.

Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,

\displaystyle iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

\displaystyle \begin{align} iz-3z-iz &= 3i-1-1\,,\\[5pt] -3z &= -2+3i\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also,

\displaystyle z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}

Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung \displaystyle iz+1=(3+i)(z+i),

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.} \end{align}