Lösung 3.1:4e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z+i</math>, und werden dadurch <math>z</math> im Nenner los,
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If we multiply both sides by z+i, we avoid having z in the denominator:
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{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1=(3+i)(z+i)\,\textrm{.}</math>}}
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Dies bedeutet aber, dass wir eine neue Gleichung haben, die nicht äquivalent mit der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn die neue Gleichung eine Lösung <math>z=-i</math> hat, kann dies unmöglich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein, nachdem der Nenner dann 0 wäre.
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<math>iz+1=(3+i)(z+i).</math>
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Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,
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{{Abgesetzte Formel||<math>iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,</math>}}
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At the same time, this means that we are now working with a new equation which is not necessarily entirely equivalent with the original equation. Should the new equation show itself to have z=-i as a solution, then we must ignore that solution, because our initial equation cannot possibly have <math>z=-i</math> as a solution (the denominator of the left-hand side becomes zero).
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und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,
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We expand the right-hand side in the new equation,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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iz-3z-iz &= 3i-1-1\,,\\[5pt]
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-3z &= -2+3i\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Wir erhalten also,
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<math>iz+1=3z+3i+iz-1</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung <math>iz+1=(3+i)(z+i)</math>,
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and move all the terms in z over to the left-hand side and the constants to the right-hand side:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Linke Seite} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt]
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\text{Rechte Seite} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.}
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<math>\begin{align}iz-3z-iz &= 3i-1-1,\\
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\end{align}</math>}}
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-3z &= -2+3i.\end{align}</math>
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Then, we obtain
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<math>z=\frac{-2+3i}{-3}=\frac{2}{3}-i.</math>
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It is a little troublesome to divide two complex numbers, so we will therefore not check whether <math>z=\frac{2}{3}-i</math> is a solution to the original equation, but satisfy ourselves with substituting into the equation <math>iz+1=(3+i)(z+i)</math>:
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<math>\begin{align}LHS &=iz+1=i(\frac{2}{3}-i)+1=\frac{2}{3}\cdot i+1+1=2+\frac{2}{3}i,\\
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RHS &= (3+i)(z+i)=(3+i)(\frac{2}{3}-i+i)=(3+i)\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}i.\end{align}</math>
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Aktuelle Version

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z+i, und werden dadurch \displaystyle z im Nenner los,

\displaystyle iz+1=(3+i)(z+i)\,\textrm{.}

Dies bedeutet aber, dass wir eine neue Gleichung haben, die nicht äquivalent mit der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn die neue Gleichung eine Lösung \displaystyle z=-i hat, kann dies unmöglich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein, nachdem der Nenner dann 0 wäre.

Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,

\displaystyle iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

\displaystyle \begin{align}

iz-3z-iz &= 3i-1-1\,,\\[5pt] -3z &= -2+3i\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also,

\displaystyle z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}

Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung \displaystyle iz+1=(3+i)(z+i),

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.} \end{align}

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