Lösung 3.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
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Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner,
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Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Wir substituieren <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben,
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Wir substituieren <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir \displaystyle z auf der linken Seite,

\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}

Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,

\displaystyle \begin{align}

z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt] &= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt] &= \frac{4+7i}{5}\\[5pt] &= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.} \end{align}

Wir substituieren \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= (2-i)z\\[5pt] &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt] &= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt] &= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt] &= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt] &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt] &= 3+2i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.}\end{align}

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