Lösung 3.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we divide both sides by <math>2-i</math>, we obtain <math>z</math> by itself on the left-hand side,
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Wenn wir beide Seiten durch <math>2-i</math> dividieren, erhalten wir <math>z</math> auf der linken Seite,
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{{Displayed math||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
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It remains to calculate the quotient on the right-hand side. We multiply top and bottom by the complex conjugate of the denominator,
+
Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Also, we substitute <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> into the original equation to assure ourselves that we have calculated correctly,
+
Wir substituieren <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{LHS}
+
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
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&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
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&= \text{RHS.}\end{align}</math>}}
+
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir \displaystyle z auf der linken Seite,

\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}

Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,

\displaystyle \begin{align}

z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt] &= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt] &= \frac{4+7i}{5}\\[5pt] &= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.} \end{align}

Wir substituieren \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= (2-i)z\\[5pt] &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt] &= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt] &= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt] &= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt] &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt] &= 3+2i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.}\end{align}

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