Lösung 3.1:2d

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Nachden der Ausdruck groß und kompliziert ist, arbeiten wir in Schritten. Zuerst schreiben wir den Zähler und Nenner wie einzelne Brüche,
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Und also erhalten wir,
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Wir erweitern den Zähler und den Nenner,
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\frac{(4+5i)(2-3i)}{(9+7i)(1+i)}
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&= \frac{4\cdot 2 -4 \cdot 3i +5i\cdot 2 - 5i\cdot 3i}{9\cdot1+9\cdot i +7i\cdot 1 +7i \cdot i}\\[5pt]
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&= \frac{8-12i+10i+15}{9+9i+7i-7}\\[5pt]
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&= \frac{23-2i}{2+16i}\,\textrm{.}
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Diesen Bruch berechnen wir, indem wir den Bruch mit den konjugiert komplezen Nenner erweitern,
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\frac{23-2i}{2+16i}
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&= \frac{(23-2i)(2-16i)}{(2+16i)(2-16i)}\\[5pt]
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&= \frac{46-368i-4i-32}{4+256}\\[5pt]
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&= \frac{14-372i}{260}\,\textrm{.}
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Zerlegen wir alle Zahlen in ihre Primfaktoren,
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14 &= 2\cdot 7\,,\\[5pt]
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372 &= 2\cdot 186=2\cdot 2\cdot 93=2\cdot 2\cdot 3\cdot 31\,,\\[5pt]
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260 &= 10\cdot 26=2\cdot 5\cdot 13\cdot 2\,,
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können wir die Antwort weiter vereinfachen,
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\frac{14}{260}-\frac{372}{260}\,i
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&= \frac{2\cdot 7}{2\cdot 2\cdot 5\cdot 13}-\frac{2\cdot 2\cdot 3\cdot 31}{2\cdot 2\cdot 5\cdot 13}\,i\\[5pt]
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&= \frac{7}{2\cdot 5\cdot 13}-\frac{3\cdot 31}{5\cdot 13}\,i\\[5pt]
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&= \frac{7}{130}-\frac{93}{65}\,i\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Nachden der Ausdruck groß und kompliziert ist, arbeiten wir in Schritten. Zuerst schreiben wir den Zähler und Nenner wie einzelne Brüche,

\displaystyle \begin{align}

5-\frac{1}{1+i} &=\frac{5\cdot (1+i)}{1+i}-\frac{1}{1+i} = \frac{5+5i-1}{1+i} = \frac{4+5i}{1+i}\,,\\[5pt] 3i+\frac{i}{2-3i} &= \frac{3i(2-3i)}{2-3i}+\frac{i}{2-3i} = \frac{6i-9i^2+i}{2-3i} = \frac{9+7i}{2-3i}\,\textrm{.} \end{align}

Und also erhalten wir,

\displaystyle \frac{5-\dfrac{1}{1+i}}{3i+\dfrac{i}{2-3i}} =\ \frac{\dfrac{4+5i}{1+i}}{\dfrac{9+7i}{2-3i}} = \frac{(4+5i)(2-3i)}{(9+7i)(1+i)}\,\textrm{.}

Wir erweitern den Zähler und den Nenner,

\displaystyle \begin{align}

\frac{(4+5i)(2-3i)}{(9+7i)(1+i)} &= \frac{4\cdot 2 -4 \cdot 3i +5i\cdot 2 - 5i\cdot 3i}{9\cdot1+9\cdot i +7i\cdot 1 +7i \cdot i}\\[5pt] &= \frac{8-12i+10i+15}{9+9i+7i-7}\\[5pt] &= \frac{23-2i}{2+16i}\,\textrm{.} \end{align}

Diesen Bruch berechnen wir, indem wir den Bruch mit den konjugiert komplezen Nenner erweitern,

\displaystyle \begin{align}

\frac{23-2i}{2+16i} &= \frac{(23-2i)(2-16i)}{(2+16i)(2-16i)}\\[5pt] &= \frac{23\cdot 2 -23\cdot 16i -2i\cdot 2 +2i \cdot 16i}{2^2-(16i)^2}\\[5pt] &= \frac{46-368i-4i-32}{4+256}\\[5pt] &= \frac{14-372i}{260}\,\textrm{.} \end{align}

Zerlegen wir alle Zahlen in ihre Primfaktoren,

\displaystyle \begin{align}

14 &= 2\cdot 7\,,\\[5pt] 372 &= 2\cdot 186=2\cdot 2\cdot 93=2\cdot 2\cdot 3\cdot 31\,,\\[5pt] 260 &= 10\cdot 26=2\cdot 5\cdot 13\cdot 2\,, \end{align}

können wir die Antwort weiter vereinfachen,

\displaystyle \begin{align}

\frac{14}{260}-\frac{372}{260}\,i &= \frac{2\cdot 7}{2\cdot 2\cdot 5\cdot 13}-\frac{2\cdot 2\cdot 3\cdot 31}{2\cdot 2\cdot 5\cdot 13}\,i\\[5pt] &= \frac{7}{2\cdot 5\cdot 13}-\frac{3\cdot 31}{5\cdot 13}\,i\\[5pt] &= \frac{7}{130}-\frac{93}{65}\,i\,\textrm{.} \end{align}

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