Lösung 3.1:2c - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 3.1:2c
			
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- {{NAVCONTENT_START}} + Wir erweitern zuerst die Quadrate mit der binomischen Formel,
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  + \frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}
  + &= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
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  + \end{align}</math>}}
  +  
  + Danach erweitern wir den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
  +  
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  + &= -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir erweitern zuerst die Quadrate mit der binomischen Formel,





\displaystyle \begin{align}
\frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}
&= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
&= \frac{4-4\sqrt{3}i-3}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
&= \frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}\,\textrm{.}
\end{align}



Danach erweitern wir den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,





\displaystyle \begin{align}
\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}
&= \frac{(1-4\sqrt{3}i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}\\[5pt]
&= \frac{1\cdot 1-1\cdot i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i\cdot 1+ 4\sqrt{3}i\cdot i \sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \frac{1-i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i+4(\sqrt{3})^2i^2}{1+(\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \frac{1-(\sqrt{3}+4\sqrt{3})i-4\cdot 3}{1+3}\\[5pt]
&= \frac{1-12-(1+4)\sqrt{3}i}{4}\\[5pt]
&= -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:2c“
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-{{NAVCONTENT_START}}
+Wir erweitern zuerst die Quadrate mit der binomischen Formel,
-<center> [[Image:3_1_2c.gif]] </center>
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}
+&= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
+&= \frac{4-4\sqrt{3}i-3}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
+&= \frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Danach erweitern wir den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}
+&= \frac{(1-4\sqrt{3}i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}\\[5pt]
+&= \frac{1\cdot 1-1\cdot i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i\cdot 1+ 4\sqrt{3}i\cdot i \sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}\\[5pt]
+&= \frac{1-i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i+4(\sqrt{3})^2i^2}{1+(\sqrt{3})^2}\\[5pt]
+&= \frac{1-(\sqrt{3}+4\sqrt{3})i-4\cdot 3}{1+3}\\[5pt]
+&= \frac{1-12-(1+4)\sqrt{3}i}{4}\\[5pt]
+&= -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}
&= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
&= \frac{4-4\sqrt{3}i-3}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
&= \frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}\,\textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}
&= \frac{(1-4\sqrt{3}i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}\\[5pt]
&= \frac{1\cdot 1-1\cdot i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i\cdot 1+ 4\sqrt{3}i\cdot i \sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \frac{1-i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i+4(\sqrt{3})^2i^2}{1+(\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \frac{1-(\sqrt{3}+4\sqrt{3})i-4\cdot 3}{1+3}\\[5pt]
&= \frac{1-12-(1+4)\sqrt{3}i}{4}\\[5pt]
&= -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i\,\textrm{.}
\end{align}