Lösung 3.1:2b - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- The two terms do not have the same denominator, so it is not possible to subtract them directly. It is perhaps simplest to calculate each quotient individually and then subtract the result. + Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
  
- We multiply the top and bottom of each fraction by the complex conjugate of its denominator, + Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,
  
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- Then, we multiply the top and bottom of the last fraction by 4, so as to give make both fractions have the same denominator, and after that we subtract the numerators, + Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,
  
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Aktuelle Version
Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,





\displaystyle \begin{align}
\frac{3i}{4-6i}-\frac{1+i}{3+2i}
&= \frac{3i(4+6i)}{(4-6i)(4+6i)}-\frac{(1+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\[5pt]
&= \frac{3i\cdot 4 + 3i\cdot 6i}{4^2-(6i)^2}-\frac{1\cdot 3 - 1\cdot 2i + i \cdot 3 - i\cdot 2i}{3^2-(2i)^2}\\[5pt]
&= \frac{12i + 18i^2}{16+36}-\frac{3 - 2i + 3i - 2i^2}{9+4}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{3 +(-2 + 3)i + 2}{13}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{5 +i}{13}\,\textrm{.}
\end{align}



Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,





\displaystyle \begin{align}
\frac{-18+12i}{52}-\frac{(5 +i)\cdot 4}{13\cdot 4}&=\frac{-18+12i}{52}-\frac{20+4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i-20-4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-38+8i}{52}\\[5pt]
&= -\frac{19}{26}+\frac{2}{13}\,i\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:2b“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- The two terms do not have the same denominator, so it is not possible to subtract them directly. It is perhaps simplest to calculate each quotient individually and then subtract the result. + Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
  
- We multiply the top and bottom of each fraction by the complex conjugate of its denominator, + Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,
  
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- Then, we multiply the top and bottom of the last fraction by 4, so as to give make both fractions have the same denominator, and after that we subtract the numerators, + Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,
  
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Aktuelle Version
Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,





\displaystyle \begin{align}
\frac{3i}{4-6i}-\frac{1+i}{3+2i}
&= \frac{3i(4+6i)}{(4-6i)(4+6i)}-\frac{(1+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\[5pt]
&= \frac{3i\cdot 4 + 3i\cdot 6i}{4^2-(6i)^2}-\frac{1\cdot 3 - 1\cdot 2i + i \cdot 3 - i\cdot 2i}{3^2-(2i)^2}\\[5pt]
&= \frac{12i + 18i^2}{16+36}-\frac{3 - 2i + 3i - 2i^2}{9+4}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{3 +(-2 + 3)i + 2}{13}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{5 +i}{13}\,\textrm{.}
\end{align}



Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,





\displaystyle \begin{align}
\frac{-18+12i}{52}-\frac{(5 +i)\cdot 4}{13\cdot 4}&=\frac{-18+12i}{52}-\frac{20+4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i-20-4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-38+8i}{52}\\[5pt]
&= -\frac{19}{26}+\frac{2}{13}\,i\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:2b“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
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- The two terms do not have the same denominator, so it is not possible to subtract them directly. It is perhaps simplest to calculate each quotient individually and then subtract the result. + Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
  
- We multiply the top and bottom of each fraction by the complex conjugate of its denominator, + Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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- Then, we multiply the top and bottom of the last fraction by 4, so as to give make both fractions have the same denominator, and after that we subtract the numerators, + Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,
  
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Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,





\displaystyle \begin{align}
\frac{3i}{4-6i}-\frac{1+i}{3+2i}
&= \frac{3i(4+6i)}{(4-6i)(4+6i)}-\frac{(1+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\[5pt]
&= \frac{3i\cdot 4 + 3i\cdot 6i}{4^2-(6i)^2}-\frac{1\cdot 3 - 1\cdot 2i + i \cdot 3 - i\cdot 2i}{3^2-(2i)^2}\\[5pt]
&= \frac{12i + 18i^2}{16+36}-\frac{3 - 2i + 3i - 2i^2}{9+4}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{3 +(-2 + 3)i + 2}{13}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{5 +i}{13}\,\textrm{.}
\end{align}



Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,





\displaystyle \begin{align}
\frac{-18+12i}{52}-\frac{(5 +i)\cdot 4}{13\cdot 4}&=\frac{-18+12i}{52}-\frac{20+4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i-20-4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-38+8i}{52}\\[5pt]
&= -\frac{19}{26}+\frac{2}{13}\,i\,\textrm{.}
\end{align}




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-The two terms do not have the same denominator, so it is not possible to subtract them directly. It is perhaps simplest to calculate each quotient individually and then subtract the result.
+Nachdem die beiden Brüche nicht denselben Nenenr haben, können wir sie nicht direkt addieren. Am einfachsten wird es wenn wir beide Brüche zuerst berechnen und dann addieren.
-We multiply the top and bottom of each fraction by the complex conjugate of its denominator,
+Wir erweitern beide Brüche mit den konjugiert komplexen Nenner vom jeweiligen Bruch,
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-Then, we multiply the top and bottom of the last fraction by 4, so as to give make both fractions have the same denominator, and after that we subtract the numerators,
+Jetzt erweitern wir den letzten Bruch mit 4, sodass beide Brüche denselben Nenner bekommen,
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{3i}{4-6i}-\frac{1+i}{3+2i}
&= \frac{3i(4+6i)}{(4-6i)(4+6i)}-\frac{(1+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\[5pt]
&= \frac{3i\cdot 4 + 3i\cdot 6i}{4^2-(6i)^2}-\frac{1\cdot 3 - 1\cdot 2i + i \cdot 3 - i\cdot 2i}{3^2-(2i)^2}\\[5pt]
&= \frac{12i + 18i^2}{16+36}-\frac{3 - 2i + 3i - 2i^2}{9+4}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{3 +(-2 + 3)i + 2}{13}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i}{52}-\frac{5 +i}{13}\,\textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{-18+12i}{52}-\frac{(5 +i)\cdot 4}{13\cdot 4}&=\frac{-18+12i}{52}-\frac{20+4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-18+12i-20-4i}{52}\\[5pt]
&= \frac{-38+8i}{52}\\[5pt]
&= -\frac{19}{26}+\frac{2}{13}\,i\,\textrm{.}
\end{align}