Lösung 3.1:1f
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | i^2 &= i\cdot i = -1\,,\\[5pt] | ||
| + | i^3 &= i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i\,,\\[5pt] | ||
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| + | Wir sehen, dass <math>i^4=1</math>, deshalb können wir <math>i^{11}</math> und <math>i^{20}</math> in Terme von <math>i^4</math> zerlegen, | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | i^{11} &= i^{4+4+3} = i^4\cdot i^4\cdot i^3 = 1\cdot 1 \cdot (-i) = -i\,,\\[5pt] | ||
| + | i^{20} &= i^{4+4+4+4+4} = i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4 = 1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 = 1\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Wir erhalten also | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>i^{20}+i^{11}=1-i\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir berechnen einige Potenzen von i, um zu sehen was passiert,
| \displaystyle \begin{align}
i^2 &= i\cdot i = -1\,,\\[5pt] i^3 &= i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i\,,\\[5pt] i^4 &= i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot (-1) = 1\,\textrm{.} \end{align} |
Wir sehen, dass \displaystyle i^4=1, deshalb können wir \displaystyle i^{11} und \displaystyle i^{20} in Terme von \displaystyle i^4 zerlegen,
| \displaystyle \begin{align}
i^{11} &= i^{4+4+3} = i^4\cdot i^4\cdot i^3 = 1\cdot 1 \cdot (-i) = -i\,,\\[5pt] i^{20} &= i^{4+4+4+4+4} = i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4 = 1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 = 1\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erhalten also
| \displaystyle i^{20}+i^{11}=1-i\,\textrm{.} |
