Lösung 3.1:1f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Wir berechnen einige Potenzen von ''i'', um zu sehen was passiert,
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Let's begin by calculating some powers of i:
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<math>\begin{align}i^2&=i\cdot i=-1,\\
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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i^3&=i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i,\\
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i^2 &= i\cdot i = -1\,,\\[5pt]
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i^4&=i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot (-1) = 1.\end{align}</math>
+
i^3 &= i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i\,,\\[5pt]
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i^4 &= i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot (-1) = 1\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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Now, we observe that because <math>i^4=1</math>, we can try to factorize <math>i^{11}</math> and <math>i^{20}</math> in terms of <math>i^4</math>,
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Wir sehen, dass <math>i^4=1</math>, deshalb können wir <math>i^{11}</math> und <math>i^{20}</math> in Terme von <math>i^4</math> zerlegen,
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<math>\begin{align}i^2&=i\cdot i=-1,\\
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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i^{11}&=i^{4+4+3} = i^4\cdot i^4\cdot i^3 = 1\cdot 1 \cdot (-i)=-i\\
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i^{11} &= i^{4+4+3} = i^4\cdot i^4\cdot i^3 = 1\cdot 1 \cdot (-i) = -i\,,\\[5pt]
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i^{20}&=i^{4+4+4+4+4} = i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4 = 1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1=1\end{align}</math>
+
i^{20} &= i^{4+4+4+4+4} = i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4 = 1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 = 1\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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The answer becomes
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Wir erhalten also
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<math>i^{20}+i^{11}=1-i</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>i^{20}+i^{11}=1-i\,\textrm{.}</math>}}
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

Wir berechnen einige Potenzen von i, um zu sehen was passiert,

\displaystyle \begin{align}

i^2 &= i\cdot i = -1\,,\\[5pt] i^3 &= i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i\,,\\[5pt] i^4 &= i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot (-1) = 1\,\textrm{.} \end{align}

Wir sehen, dass \displaystyle i^4=1, deshalb können wir \displaystyle i^{11} und \displaystyle i^{20} in Terme von \displaystyle i^4 zerlegen,

\displaystyle \begin{align}

i^{11} &= i^{4+4+3} = i^4\cdot i^4\cdot i^3 = 1\cdot 1 \cdot (-i) = -i\,,\\[5pt] i^{20} &= i^{4+4+4+4+4} = i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4\cdot i^4 = 1\cdot 1 \cdot 1\cdot 1 \cdot 1 = 1\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also

\displaystyle i^{20}+i^{11}=1-i\,\textrm{.}
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