Lösung 2.1:1d

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The modulus function, <math>|x|</math>, strips <math>x</math> of its sign, e.g.
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Die Betragsfunktion <math>|x|</math> erstellt den Betrag von <math>x</math>, nimmt also das Vorzeichen von <math>x</math> weg. Zum Beispiel ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>|-5|=5\,</math>, <math>\quad|3|=3\quad</math> and <math>\quad |-\pi|=\pi\,</math>.}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>|-5|=5\,</math>, <math>\quad|3|=3\quad</math> und <math>\quad |-\pi|=\pi\,</math>.}}
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For positive values of <math>x</math>, the modulus function has no effect, since
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Für positive <math>x</math> ändert die Betragsfunktion nichts, da
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<math>|x|=x</math>, but for negative <math>x</math> the modulus function changes the sign of <math>x</math>, i.e. <math>|x|=-x</math> (remember that <math>x</math>
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<math>|x|=x</math>, während die Betragsfunktion für negative <math>x</math> das Vorzeichen von <math>x</math>, d.h. <math>|x|=-x</math> ändert.
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is negative and therefore <math>-x</math> is positive).
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If we draw a graph of <math>y=|x|</math> it will consist of two parts. For
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Zeichnen wir den Graph von <math>y=|x|</math>, besteht er aus zwei Teilen. Für
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<math>x\ge 0</math> we have <math>y=x</math>, and for <math>x\le 0</math> we have
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<math>x\ge 0</math> ist <math>y=x</math> und für <math>x\le 0</math> ist
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<math>y=-x\,</math>.
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<math>y=-x\,.</math>
[[Image:2_1_1_d1.gif|center]]
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The value of the integral is the area of the region under the graph <math>y=|x|</math> and between <math>x=-1</math> and <math>x=2</math>.
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Daher ist das Integral die Fläche unter der Funktion <math>y=|x|</math> zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=2</math>.
[[Image:2_1_1_d2.gif|center]]
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This region consists of two triangles and we therefore obtain
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Da das Gebiet aus zwei Dreiecken besteht, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} |x|\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} |x|\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Die Betragsfunktion \displaystyle |x| erstellt den Betrag von \displaystyle x, nimmt also das Vorzeichen von \displaystyle x weg. Zum Beispiel ist

\displaystyle |-5|=5\,, \displaystyle \quad|3|=3\quad und \displaystyle \quad |-\pi|=\pi\,.

Für positive \displaystyle x ändert die Betragsfunktion nichts, da \displaystyle |x|=x, während die Betragsfunktion für negative \displaystyle x das Vorzeichen von \displaystyle x, d.h. \displaystyle |x|=-x ändert.

Zeichnen wir den Graph von \displaystyle y=|x|, besteht er aus zwei Teilen. Für \displaystyle x\ge 0 ist \displaystyle y=x und für \displaystyle x\le 0 ist \displaystyle y=-x\,.

Daher ist das Integral die Fläche unter der Funktion \displaystyle y=|x| zwischen \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=2.

Da das Gebiet aus zwei Dreiecken besteht, erhalten wir

\displaystyle \int\limits_{-1}^{2} |x|\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}
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