Lösung 1.3:3c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | ||
| - | # stationäre Punkte | + | # stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
| - | # | + | # singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder |
# Endpunkte | # Endpunkte | ||
| - | Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die | + | Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung. |
Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist | Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}} |
| - | Wir | + | Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn |
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, | + | Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\, | + | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}} |
Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum. | Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum. | ||
Version vom 13:41, 20. Aug. 2009
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Endpunkte
Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass \displaystyle \ln x nur definiert ist, wenn \displaystyle x > 0. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1. |
Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn
| \displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.} |
Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, also ist
| \displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,. |
Also ist \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minimum.
