Lösung 1.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
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Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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Also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
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und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
Insbesondere gilt
Insbesondere gilt

Version vom 13:36, 20. Aug. 2009

Da die Funktion für alle x definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 3e^{-3x} = 5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Also hat die Gleichung einen stationären Punkt in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}

und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,

also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.

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