Lösung 1.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
# Endpunkte.
# Endpunkte.
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
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ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>
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ist null, wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>
<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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</ol>
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Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
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Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob der Punkt ein Extrempunkt ist.
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Version vom 12:41, 20. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x)
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2
    ist null, wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.
  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte und so ist \displaystyle x=1\, der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob der Punkt ein Extrempunkt ist.

\displaystyle x \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

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