Lösung 1.2:4a - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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			Lösung 1.2:4a
			
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- We are to differentiate the expression two times, so we start by differentiating once. The quotient rule gives + Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 7:
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We determine the derivative <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> by using the chain rule + Die Ableitung <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> erhalten wir durch die Kettenregel.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}  \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
 &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
- &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{.} + &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We simplify the result as far as possible, so as to make the second differentiation easier, + Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22:
Zeile 22:
 &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
 &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
- &= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{.} + &= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- The second derivative is + Die zweite Ableitung ist
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 34:
Zeile 34:
 &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]  &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
 &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]  &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
- &= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\textrm{.} + &= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= {}\rlap{\frac{(x)'\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{1\cdot\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{1-x^2}\,\textrm{.} 
\end{align}



Die Ableitung \displaystyle \bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)' erhalten wir durch die Kettenregel.





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
\end{align}



Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= {}\rlap{\frac{\sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
\end{align}



Die zweite Ableitung ist





\displaystyle \begin{align}
\frac{d^2}{dx^2}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\\[5pt]
&= \frac{d}{dx}\,\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2}\\[5pt]
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2-1}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'\\[5pt] 
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.2:4a“
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We are to differentiate the expression two times, so we start by differentiating once. The quotient rule gives + Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We determine the derivative <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> by using the chain rule + Die Ableitung <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> erhalten wir durch die Kettenregel.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}  \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
 &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
- &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{.} + &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We simplify the result as far as possible, so as to make the second differentiation easier, + Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Zeile 22:
 &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
 &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
- &= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{.} + &= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- The second derivative is + Die zweite Ableitung ist
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 34:
Zeile 34:
 &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]  &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
 &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]  &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
- &= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\textrm{.} + &= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= {}\rlap{\frac{(x)'\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{1\cdot\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{1-x^2}\,\textrm{.} 
\end{align}



Die Ableitung \displaystyle \bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)' erhalten wir durch die Kettenregel.





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
\end{align}



Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= {}\rlap{\frac{\sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
\end{align}



Die zweite Ableitung ist





\displaystyle \begin{align}
\frac{d^2}{dx^2}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\\[5pt]
&= \frac{d}{dx}\,\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2}\\[5pt]
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2-1}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'\\[5pt] 
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
\end{align}




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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We are to differentiate the expression two times, so we start by differentiating once. The quotient rule gives + Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We determine the derivative <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> by using the chain rule + Die Ableitung <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> erhalten wir durch die Kettenregel.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}  \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
 &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
- &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{.} + &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We simplify the result as far as possible, so as to make the second differentiation easier, + Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 22:
Zeile 22:
 &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
 &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]  &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
- &= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{.} + &= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- The second derivative is + Die zweite Ableitung ist
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 34:
Zeile 34:
 &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]  &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
 &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]  &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
- &= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\textrm{.} + &= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= {}\rlap{\frac{(x)'\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{1\cdot\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{1-x^2}\,\textrm{.} 
\end{align}



Die Ableitung \displaystyle \bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)' erhalten wir durch die Kettenregel.





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
\end{align}



Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= {}\rlap{\frac{\sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
\end{align}



Die zweite Ableitung ist





\displaystyle \begin{align}
\frac{d^2}{dx^2}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\\[5pt]
&= \frac{d}{dx}\,\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2}\\[5pt]
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2-1}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'\\[5pt] 
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.2:4a“
@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-We are to differentiate the expression two times, so we start by differentiating once. The quotient rule gives
+Wir beginnen damit, die Funktion einmal abzuleiten. Durch die Quotientenregel erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 \end{align}</math>}}
-We determine the derivative <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> by using the chain rule
+Die Ableitung <math>\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'</math> erhalten wir durch die Kettenregel.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
 &= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
-&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{.}
+&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{}
 \end{align}</math>}}
-We simplify the result as far as possible, so as to make the second differentiation easier,
+Wir vereinfachen die Ableitung so weit wie möglich, sodass wir die zweite Ableitung einfacher berechnen können.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 &= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
 &= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
-&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{.}
+&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{}
 \end{align}</math>}}
-The second derivative is
+Die zweite Ableitung ist
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 &= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
 &= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
-&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\textrm{.}
+&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.}
 \end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= {}\rlap{\frac{(x)'\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{1\cdot\sqrt{1-x^2}-x\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'}{1-x^2}\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)}{1-x^2}\,\textrm{} 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{}
&= {}\rlap{\frac{\sqrt{1-x^2} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}}\phantom{\frac{\sqrt{1-x^2}-x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'}{1-x^2}}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{\dfrac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\[5pt]
&= \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{} 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{d^2}{dx^2}\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
&= \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}\\[5pt]
&= \frac{d}{dx}\,\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2}\\[5pt]
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-3/2-1}\cdot\bigl(1-x^2\bigr)'\\[5pt] 
&= -\tfrac{3}{2}\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\cdot (-2x)\\[5pt]
&= 3x\bigl(1-x^2\bigr)^{-5/2}\\[5pt]
&= \frac{3x}{\bigl(1-x^2\bigr)^{5/2}}\,\,\textrm{.} 
\end{align}