Lösung 1.2:2e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
One way to differentiate the expression could be to expand
+
Theoretisch ist es möglich, den Ausdruck zu erweitern und Term für Term abzuleiten. Das ist aber mühsam und wir verwenden daher stattdessen die Ableitungsregeln.
-
<math>\left( 2x+1 \right)^{4}</math>
+
-
multiply by
+
-
<math>x</math>
+
-
and differentiate term by term, but it is simpler instead to use the structure of the expression and differentiate step by step using the differentiation rules.
+
-
To begin with, we have a product of
+
Durch die Faktorregel erhalten wir
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( 2x+1 \right)^{4}</math>
+
-
so the product rule gives that
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr]
 +
&= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[5pt]
 +
&= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir berechnen die Ableitung von <math>(2x+1)^4</math> mit der Kettenregel, indem wir folgenden Ausdruck betrachten
-
& \frac{d}{dx}x\left( 2x+1 \right)^{4}=\left( x \right)^{\prime }\centerdot \left( 2x+1 \right)^{4}+x\centerdot \left( \left( 2x+1 \right)^{4} \right)^{\prime } \\
+
-
& =1\centerdot \left( 2x+1 \right)^{4}+x\centerdot \left( \left( 2x+1 \right)^{4} \right)^{\prime } \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Durch die Kettenregel erhalten wir
-
We can differentiate the expression
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\left( 2x+1 \right)^{4}</math>
+
\frac{d}{dx}\,\bigl[\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\bigr]
-
by viewing it as "something raised to the
+
&= 4\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,3}\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,\prime}\,,\\[5pt]
-
<math>\text{4}</math>",
+
\frac{d}{dx}\,\bigl[(2x+1)^4\bigr] &= 4\cdot (2x+1)^3\cdot (2x+1)'\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Die letzte Ableitung ist einfach
-
<math>\left\{ \left. {} \right\} \right.^{4}</math>.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(2x+1)' = 2\,\textrm{.}</math>}}
-
The chain rule then gives
+
Machen wir alle Schritte von Anfang an, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr]
 +
&= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[2pt]
 +
&= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot (2x+1)'\\[5pt]
 +
&= (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot 2\\[5pt]
 +
&= (2x+1)^4 + 8x(2x+1)^3\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir hohlen schließlich den Faktor <math>(2x+1)^3</math> heraus
-
& \frac{d}{dx}\left\{ \left. {} \right\} \right.^{4}=4\centerdot \left\{ \left. {} \right\} \right.^{3}\centerdot \left( \left\{ \left. {} \right\} \right. \right)^{\prime } \\
+
-
& \frac{d}{dx}\left( 2x+1 \right)^{4}=4\centerdot \left( 2x+1 \right)^{3}\centerdot \left( 2x+1 \right)^{\prime } \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
We carry out the last differentiation directly, and obtain
+
\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr]
-
 
+
&= (2x+1)^3\bigl((2x+1)+8x\bigr)\\[5pt]
-
 
+
&= (2x+1)^3(10x+1)\,\textrm{.}
-
<math>\left( 2x+1 \right)^{\prime }=2</math>
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
If we go through the whole calculation from the beginning, it is
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}x\left( 2x+1 \right)^{4}=\left( x \right)^{\prime }\centerdot \left( 2x+1 \right)^{4}+x\centerdot \left( \left( 2x+1 \right)^{4} \right)^{\prime } \\
+
-
& =1\centerdot \left( 2x+1 \right)^{4}+x\centerdot 4\left( 2x+1 \right)^{3}\centerdot \left( 2x+1 \right)^{\prime } \\
+
-
& =\left( 2x+1 \right)^{4}+x\centerdot 4\left( 2x+1 \right)^{3}\centerdot 2 \\
+
-
& =\left( 2x+1 \right)^{4}+8x\left( 2x+1 \right)^{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Both terms contain a common factor
+
-
<math>\left( 2x+1 \right)^{3}</math>
+
-
which we can take out to get an answer in factorized form:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}x\left( 2x+1 \right)^{4}=\left( 2x+1 \right)^{3}\left( \left( 2x+1 \right)+8x \right) \\
+
-
& =\left( 2x+1 \right)^{3}\left( 10x+1 \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Theoretisch ist es möglich, den Ausdruck zu erweitern und Term für Term abzuleiten. Das ist aber mühsam und wir verwenden daher stattdessen die Ableitungsregeln.

Durch die Faktorregel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[5pt] &= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\,\textrm{.} \end{align}

Wir berechnen die Ableitung von \displaystyle (2x+1)^4 mit der Kettenregel, indem wir folgenden Ausdruck betrachten

\displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\,\textrm{.}

Durch die Kettenregel erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,4}\bigr] &= 4\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,3}\cdot \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{(2x+1)}\!\!}^{\,\prime}\,,\\[5pt] \frac{d}{dx}\,\bigl[(2x+1)^4\bigr] &= 4\cdot (2x+1)^3\cdot (2x+1)'\,\textrm{.} \end{align}

Die letzte Ableitung ist einfach

\displaystyle (2x+1)' = 2\,\textrm{.}

Machen wir alle Schritte von Anfang an, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (x)'\cdot (2x+1)^4 + x\cdot \bigl((2x+1)^4\bigr)'\\[2pt] &= 1\cdot (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot (2x+1)'\\[5pt] &= (2x+1)^4 + x\cdot 4(2x+1)^3\cdot 2\\[5pt] &= (2x+1)^4 + 8x(2x+1)^3\,\textrm{.} \end{align}

Wir hohlen schließlich den Faktor \displaystyle (2x+1)^3 heraus

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\bigl[x(2x+1)^4\bigr] &= (2x+1)^3\bigl((2x+1)+8x\bigr)\\[5pt] &= (2x+1)^3(10x+1)\,\textrm{.} \end{align}

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