Lösung 1.2:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The whole expression consists of two parts: the outer part, "''e'' raised to something",
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Die Funktion besteht aus der äußeren Exponentialfunktion,
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}}\,,</math>}}
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where "something" is the inner part <math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} = x^2+x</math>.
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und der inneren Funktion <math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} = x^2+x</math>.
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The derivative is calculated according to the chain rule by differentiating <math>e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}}</math> with respect to <math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}</math> and then multiplying by the inner derivative <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} \bigr)'</math>, i.e.
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Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel, indem wir die Ableitung von <math>e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}}</math> in Bezug auf <math>\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}</math> mit der inneren Ableitung <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} \bigr)'</math> multiplizieren, also
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}} = e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,} \bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}} = e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,} \bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
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The inner part is an ordinary polynomial which we differentiate directly,
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Die innere Funktion ist ein Polynom und wir erhalten direkt die innere Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{x^2+x} = e^{x^2+x}\cdot (2x+1)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{x^2+x} = e^{x^2+x}\cdot (2x+1)\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Die Funktion besteht aus der äußeren Exponentialfunktion,

\displaystyle e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}}\,,

und der inneren Funktion \displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} = x^2+x.

Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel, indem wir die Ableitung von \displaystyle e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}} in Bezug auf \displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} mit der inneren Ableitung \displaystyle \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} \bigr)' multiplizieren, also

\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}} = e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,} \bigr)'\,\textrm{.}

Die innere Funktion ist ein Polynom und wir erhalten direkt die innere Ableitung

\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{x^2+x} = e^{x^2+x}\cdot (2x+1)\,\textrm{.}
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