Lösung 1.2:1d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Nachdem wir eine Quote haben, verwenden wir die Quotientenregel um die Funktion abzuleiten,
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Da wir einen Quotienten haben, verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \frac{(\sin x)'\cdot x - \sin x\cdot (x)'}{x^2}\\[5pt]
&= \frac{(\sin x)'\cdot x - \sin x\cdot (x)'}{x^2}\\[5pt]
&= \frac{\cos x\cdot x - \sin x\cdot 1}{x^2}\\[5pt]
&= \frac{\cos x\cdot x - \sin x\cdot 1}{x^2}\\[5pt]
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&= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,\textrm{.}
+
&= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Es ist auch möglich die Funktion als ein Produkt von <math>\sin x</math> und
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Es ist auch möglich, die Funktion als ein Produkt von <math>\sin x</math> und
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<math>1/x</math>, zu betrachten, und die Funktion mit der Faktorregel abzuleiten,
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<math>1/x</math> zu betrachten und die Funktion mit der Faktorregel abzuleiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= (\sin x)'\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)'\\[5pt]
&= (\sin x)'\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)'\\[5pt]
&= \cos x\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\\[5pt]
&= \cos x\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\\[5pt]
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&= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,,
+
&= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Wo wir
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Dabei verwendeten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)' = \bigl(x^{-1}\bigr)' = (-1)x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)' = \bigl(x^{-1}\bigr)' = (-1)x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,\textrm{.}</math>}}
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verwendet haben
 

Aktuelle Version

Da wir einen Quotienten haben, verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)' &= \frac{(\sin x)'\cdot x - \sin x\cdot (x)'}{x^2}\\[5pt] &= \frac{\cos x\cdot x - \sin x\cdot 1}{x^2}\\[5pt] &= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,\textrm{} \end{align}

Es ist auch möglich, die Funktion als ein Produkt von \displaystyle \sin x und \displaystyle 1/x zu betrachten und die Funktion mit der Faktorregel abzuleiten.

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(\sin x\cdot\frac{1}{x}\Bigr)' &= (\sin x)'\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)'\\[5pt] &= \cos x\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\, \end{align}

Dabei verwendeten wir

\displaystyle \Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)' = \bigl(x^{-1}\bigr)' = (-1)x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,\textrm{.}
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