Lösung 1.2:1d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | \Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)' | ||
| + | &= \frac{(\sin x)'\cdot x - \sin x\cdot (x)'}{x^2}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{\cos x\cdot x - \sin x\cdot 1}{x^2}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,\textrm{} | ||
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| + | Es ist auch möglich, die Funktion als ein Produkt von <math>\sin x</math> und | ||
| + | <math>1/x</math> zu betrachten und die Funktion mit der Faktorregel abzuleiten. | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \Bigl(\sin x\cdot\frac{1}{x}\Bigr)' | ||
| + | &= (\sin x)'\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)'\\[5pt] | ||
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| + | &= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\, | ||
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| + | Dabei verwendeten wir | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)' = \bigl(x^{-1}\bigr)' = (-1)x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Da wir einen Quotienten haben, verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)' &= \frac{(\sin x)'\cdot x - \sin x\cdot (x)'}{x^2}\\[5pt] &= \frac{\cos x\cdot x - \sin x\cdot 1}{x^2}\\[5pt] &= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\,\textrm{} \end{align} |
Es ist auch möglich, die Funktion als ein Produkt von \displaystyle \sin x und \displaystyle 1/x zu betrachten und die Funktion mit der Faktorregel abzuleiten.
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(\sin x\cdot\frac{1}{x}\Bigr)' &= (\sin x)'\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)'\\[5pt] &= \cos x\cdot\frac{1}{x} + \sin x\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}\, \end{align} |
Dabei verwendeten wir
| \displaystyle \Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)' = \bigl(x^{-1}\bigr)' = (-1)x^{-1-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,\textrm{.} |
