Lösung 1.3:7
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können. | Wir müssen jetzt den Radius <math>r</math> und die Höhe <math>h</math> durch den Winkel <math>\alpha</math> ausdrücken, sodass wir das Volumen <math>V</math> als Funktion von <math>\alpha </math> schreiben können. | ||
| - | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, | + | Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel <math>\alpha</math> aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments |
<math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist. | <math>(2\pi-\alpha)R</math> sein, wobei <math>R</math> der ursprüngliche Radius ist. | ||
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Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch | Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch | ||
| - | <math>2\pi r</math>, | + | <math>2\pi r</math>, also haben wir |
{{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Jetzt haben wir | + | Jetzt haben wir den neuen Radius <math>r</math> als Funktion des Winkels |
| - | <math>\alpha</math> und | + | <math>\alpha</math> und dem ursprünglichen Radius <math>R</math> ausgedrückt. |
| - | Um die Höhe zu | + | Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras |
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Version vom 10:45, 6. Aug. 2009
Wie der Kegel gebaut wird, ist hier illustriert:
Nachdem wir den Volumen des Kegels maximieren wollen, betrachten wir nun die Maße Kegels.
Mit diesen Maßen ist das Volumen des Kegels:
| \displaystyle \begin{align}
V &= \frac{1}{3}\text{(Fläche des Kreises)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi r^{2}h\,\textrm{.} \end{align} |
Wir müssen jetzt den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h durch den Winkel \displaystyle \alpha ausdrücken, sodass wir das Volumen \displaystyle V als Funktion von \displaystyle \alpha schreiben können.
Schneiden wir einen Kreissektor mit dem Winkel \displaystyle \alpha aus dem Kreis, ist der Umfang des übriggebliebenen Kreissegments \displaystyle (2\pi-\alpha)R sein, wobei \displaystyle R der ursprüngliche Radius ist.
Der Umfang des oberen Kreises ist aber auch \displaystyle 2\pi r, also haben wir
| \displaystyle 2\pi r = (2\pi-\alpha)R\quad\Leftrightarrow\quad r = \frac{2\pi -\alpha}{2\pi}\,R\,\textrm{.} |
Jetzt haben wir den neuen Radius \displaystyle r als Funktion des Winkels \displaystyle \alpha und dem ursprünglichen Radius \displaystyle R ausgedrückt.
Um die Höhe zu bestimmen, benutzen wir den Satz des Pythagoras
Also haben wir
| \displaystyle \begin{align}
h &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\,R\Bigr)^2}\\[5pt] &= \sqrt{R^2-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2R^2}\\[5pt] &= R\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt haben wir den Radius \displaystyle r und die Höhe \displaystyle h als Funktionen von \displaystyle \alpha und \displaystyle R, geschrieben. Der Volumen des Kegels ist also
| \displaystyle \begin{align}
V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}R\Bigr)^2 R\sqrt{1-\Bigl( \frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2 \sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,\textrm{.} \end{align} |
Unser Problem ist jetzt:
- Maximiere \displaystyle V(\alpha) = \frac{1}{3}\pi R^3 \Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \Bigr)^2\sqrt{1-\Bigl(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi}\Bigr)^2}\,, wo \displaystyle 0\le \alpha \le 2\pi\,.
Bevor wir anfangen die Funktion abzuleiten, sehen wir dass dar Winkel \displaystyle \alpha nur in \displaystyle (2\pi-\alpha)/2\pi-Termen auftritt, und also können wir den Volumen genauso in Bezug auf den Variabel \displaystyle x=(2\pi-\alpha)/2\pi maximieren, um das Problem zu vereinfachen,
- Maximiere \displaystyle V(x) = \frac{1}{3}\pi R^3x^2\sqrt{1-x^2}\,, wenn \displaystyle 0\le x\le 1\,.
Wenn \displaystyle x=0 oder \displaystyle x=1, ist der Volumen null, und nachdem die Funktion überall außer in \displaystyle x=1 ableitbar ist, nimmt der Volumen sein Maxima an einen stationären Punkt an.
Wir leiten die Funktion ab,
| \displaystyle V'(x) = \frac{1}{3}\pi R^3\cdot 2x\cdot \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{3}\pi R^3x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)\,, |
und vereinfachen den Ausdruck, indem wir so viele Faktoren wir möglich herausziehen,
| \displaystyle \begin{align}
V'(x) &= \frac{2}{3}\pi R^3x\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{3}\pi R^3x^3\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\bigl[ 2(1-x^2)-x^2\bigr]\\[5pt] &= \frac{1}{3}\pi R^3\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(2-3x^2)\,\textrm{.} \end{align} |
Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x=0 (dies ist auch ein Endpunkt) oder wenn \displaystyle 2-3x^2=0, also wenn \displaystyle x=\sqrt{2/3}\,. (Der Punkt \displaystyle x=-\sqrt{2/3} liegt außerhalb des Gebietes \displaystyle 0\le x\le 1.)
Durch einer Vorzeichentabelle erhalten wir die Vorzeichen der Faktoren,
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle \sqrt{1-x^2} | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 |
| \displaystyle 2-3x^2 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle - |
und erhalten dadurch das Vorzeichen der Ableitung selbst
| \displaystyle x | \displaystyle 0 | \displaystyle \sqrt{\tfrac{2}{3}} | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle V'(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | |
| \displaystyle V(x) | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow | \displaystyle \tfrac{4}{9\sqrt{3}}\pi R^3 | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 |
Wir sehen hier dass \displaystyle x=\sqrt{2/3} ein globales Maxima ist. \displaystyle x = \sqrt{2/3} entspricht den Winkel \displaystyle \alpha:
| \displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\pi-\alpha }{2\pi}\quad \Leftrightarrow\quad \alpha = 2\pi \bigl(1-\sqrt{2/3}\,\bigr)\ \text{radians.} |
