Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-
# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-
# Endpunkte.
+
# Endpunkte
-
Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.
+
Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedienung.
-
Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
+
Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
Zeile 19: Zeile 19:
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
-
Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minima.
+
Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

Version vom 10:03, 5. Aug. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Endpunkte

Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass \displaystyle \ln x nur definiert ist wenn \displaystyle x > 0. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedienung.

Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1

Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

\displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}

Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, und also ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,

Also ist \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minimum.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:3c“