Lösung 1.3:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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und wir erhalten also die Gleichung
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und wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
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für die Wurzeln. Diese Gleichung hat die Lösung
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für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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und also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
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und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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Besonders ist
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Insbesondere gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
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also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minimum.
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und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minima.
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Version vom 10:00, 5. Aug. 2009

Nachdem die Funktion für alle x definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 3e^{-3x} = 5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

also hat die Gleichung einen stationären Punkt in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}

und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,

also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.

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