Lösung 3.3:1e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
K (Solution 3.3:1e moved to Lösung 3.3:1e: Robot: moved page) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | + | Wir rechnen in Polarform nachdem es dann einfacher ist hohe Potenzen zu berechnen. | |
| - | + | Zuerst bringen wir <math>1+i\sqrt{3}</math>, <math>1-i</math> und <math>\sqrt{3}-i</math> auf Polarform. | |
<center>[[Image:3_3_1_e.gif]] [[Image:3_3_1_e_text.gif]]</center> | <center>[[Image:3_3_1_e.gif]] [[Image:3_3_1_e_text.gif]]</center> | ||
| - | + | Also ist | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| Zeile 13: | Zeile 13: | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Mit den Moivreschen Satz erhalten wir | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Version vom 14:49, 18. Mai 2009
Wir rechnen in Polarform nachdem es dann einfacher ist hohe Potenzen zu berechnen.
Zuerst bringen wir \displaystyle 1+i\sqrt{3}, \displaystyle 1-i und \displaystyle \sqrt{3}-i auf Polarform.
Also ist
| \displaystyle \begin{align}
1+i\sqrt{3} &= 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\,,\\[5pt] 1-i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\,,\\[5pt] \sqrt{3}-i &= 2\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
Mit den Moivreschen Satz erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\frac{\bigl(1+i\sqrt{3}\,\bigr)(1-i)^8}{\bigl(\sqrt{3}-i\bigr)^9} &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)\Bigl(\sqrt{2}\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{4}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\Bigr)^8}{\Bigl( 2\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\Bigr)^9}\\[5pt] &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)\bigl(\sqrt{2}\,\bigr)^8\Bigl(\cos\Bigl(8\cdot\Bigl(-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr) + i\sin\Bigl(8\cdot\Bigl(-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\Bigr)}{2^{9}\Bigl(\cos\Bigl(9\cdot\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr) + i\sin\Bigl(9\cdot\Bigl(-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\Bigr)}\\[5pt] &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)\cdot 2^{(1/2)\cdot 8}\bigl(\cos (-2\pi) + i\sin (-2\pi)\bigr)}{2^9\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{3\pi}{2} \Bigr) + i\sin\Bigl(-\dfrac{3\pi}{2}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt] &= \frac{2\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\Bigr)\cdot 2^4( 1+i\cdot 0)}{2^9\Bigl(\cos\Bigl(-\dfrac{3\pi}{2}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\dfrac{3\pi}{2}\Bigr)\Bigr)}\\[5pt] &= \frac{2\cdot 2^4}{2^9}\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{3}-\Bigl(-\frac{3\pi}{2}\Bigr) \Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{3}-\Bigl(-\frac{3\pi}{2}\Bigr)\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \frac{2^5}{2^9}\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{2}\Bigr) + i\sin\Bigl(\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{2}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{2^4}\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{16}\Bigl(\cos\frac{12\pi-\pi}{6} + i\sin\frac{12\pi-\pi}{6}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{16}\Bigl(\cos\Bigl(2\pi-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(2\pi-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{16}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{16}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{32}\bigl(\sqrt{3}-i\bigr)\,\textrm{.} \end{align} |
