3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
-
* De Moivre's formula
+
* Der Moivrescher Satz
-
* Binomial equations
+
* Quadratische Gleichungen
-
* Exponential function
+
* Exponentialfunktionen
-
* Euler's formula
+
* Quadratische Ergänzung
-
* Completing the square
+
-
* Quadratic equations
+
}}
}}
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
-
* Calculate the powers of complex numbers with de Moivre's formula.
+
* Potenzen von komplexen Zahlen mit den Moivrechen Satz lösen.
-
* Calculate the roots of certain complex numbers by rewriting to polar form.
+
* Wurzeln von komplexen Zahlen berechnen indem man die Zahl auf Polarform bringt.
-
*Solve binomial equations.
+
* Komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch Ergänzen.
-
* Complete the square for complex quadratic expressions.
+
Komplexe quadratische Gleichungen lösen.
-
* Solve complex quadratic equations.
+
-
}}
+
== Moivrescher Satz==
== Moivrescher Satz==
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-
Put <math>w = z + i</math>. We then get the equation <math>\ w^3=-8i\,</math>. To begin with, we rewrite <math>w</math> and <math>-8i</math> in polar form
+
Wir lassen <math>w = z + i</math> sein. Wir erhalten so die Gleichung <math>\ w^3=-8i\,</math>. Wir bringen als erster Schritt <math>w</math> und <math>-8i</math> in Polarform
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
-
In polar form, the equation is <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>; matching the moduli and arguments on both sides gives
+
 
 +
In Polarform lautet die Gleichung <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>; Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The roots of the equation are thus
+
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
-
i.e. <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> and <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
+
also <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> und <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
</div>
</div>
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-
Solve <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
-
If for <math>z=a+ib</math> one has <math>|\,z\,|=r</math> and <math>\arg z = \alpha</math> then for <math>\overline{z}= a-ib</math> one gets <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> and <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>.This means that <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> and <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. The equation can be written
+
Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>|\,z\,|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also
{{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
-
which directly gives that <math>r=0</math> is a solution, i.e. <math>z=0</math>. If we assume that <math>r\not=0</math> then the equation can be written as <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>, which gives after matching moduli and arguments
+
Wir sehen direkt dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist, und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The solutions are
+
Die Wurzeln sind also
*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
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== Completing the square ==
+
== Quadratische Ergänzung ==
-
The well-known rules
+
Die wohlbekannten Regeln
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
-
which are usually used to expand brackets can also be used in reverse to obtain quadratic expressions. For example,
+
die wir verwenden um Quadraten zu erweitern, können auch verwendet werden um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
This can be used to solve quadratic equations, for example,
+
Dies kann verwendet werden um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Taking roots then gives that <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> and thus that <math>x=-2\pm 3</math>, i.e. <math>x=1</math> or <math>x=-5</math>.
+
Indem wir die Wurzeln berechnen erhalten wir dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und dass <math>x=-2\pm 3</math>, und also <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.
-
Sometimes it is necessary to add or subtract an appropriate number to obtain a suitable expression. The above equation, for example, could just as easily been presented to us as
+
Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um einer der binomischen Formeln rückwärts verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
-
By adding 9 to both sides, we get a suitable expression on the left side:
+
Addiere wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
This method is called ''completing the square''.
+
Diese Methode um quadratische Gleichungen zu lösen nennt man ''quadratische Ergänzung''.
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
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The coefficient in front of <math>x</math> is <math>-6</math> and it shows that we must have the number <math>(-3)^2=9</math> as the constant term on the left-hand side to make a complete square. By adding <math>2</math> to both sides we achieve this:
+
Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben un quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Taking roots then gives <math>x-3=\pm 2</math>, which means that <math>x=1</math> or <math>x=5</math>.
+
Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>, und also ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
</li>
</li>
-
<li> Solve the equation <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
+
<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
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-
The equation can be written as <math>z^2+8z+17=0</math>. By subtracting 1 on both sides, we get a complete square on the left-hand side:
+
Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indemwir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
-
 
+
und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.
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and thus <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. In other words, the solutions are <math>z=-4-i</math> and <math>z=-4+i</math>.
+
</li>
</li>
</ol>
</ol>
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</div>
</div>
-
Generally, completing the square may be regarded as arranging that "the square of half the coefficient of the ''x-term''" is the constant term in the quadratic expression. This term can always be added to the two sides without worrying about the other terms and then manipulating the equation. If the coefficients of the expression are complex numbers, one still can go about it in the same way.
+
Allgemein addiert oder subtrahiert man eine Konstante sodass die Konstante in der linken Seite der Gleichung die Quadrate von den halben Koeffizienten vom ''x''-Term ist. Diese Methode ist ganz allgemein, und funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
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-
Solve the equation <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
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Half the coefficient of <math>x</math> is <math>-\tfrac{4}{3}</math>. We thus add <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> to both sides
+
Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> zu beiden Seiten addieren
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Now it is easy to get to <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> and thus to get that <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, i.e. <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> or <math>x=3</math>.
+
Wir sehen dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.
</div>
</div>
Zeile 335: Zeile 331:
-
Solve the equation <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
-
Completing the square gives
+
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
This gives the usual formula for solutions of quadratic equations
+
Dadurch erhalten wir eine Allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 352: Zeile 348:
-
Solve the equation <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
 +
 
-
Half the coefficient of <math>z</math> is <math>-(6+2i)</math> so we add the square of this expression to both sides
 
 +
Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>, und also addieren wir die Quadrate von den Koeffizienten zu beiden Seiten der Gleichung,
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
-
Expanding the square on the right-hand side <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> and completing the square on the left-hand side gives
+
Erweitern Wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite Quadratisch, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
After taking roots, we have that <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> and therefore the solutions are <math>z=12+2i</math> and <math>z=2i</math>.
+
Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
</div>
</div>
-
If one wants to bring about a square in an expression one can use the same technique. In order not to change the value of the expression one both adds and subtracts the missing constant term, such as in the following,
+
Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Zeile 377: Zeile 374:
-
Complete the square in the expression <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math>.
+
Ergänzen Sie <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math> quadratisch.
-
Add and subtract the term <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math>,
+
Wir subtrahieren und addieren <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math> vom Ausdruck,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Zeile 387: Zeile 384:
-
==Solving using a formula==
+
==Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel==
-
To solve quadratic equations, sometimes the simplest method is to use the usual formula for quadratic equations. However, this may leave one with terms of the type <math>\sqrt{a+ib}</math>. One can then assume
+
Manchmal ist es am einfachsten quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme Wie <math>\sqrt{a+ib}</math> entstehen. Man kann dann annehmen dass
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
-
By squaring both sides we get
+
Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Matching the real and imaginary parts gives
+
Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
-
These equations can be solved by substitution, for example, <math>y= b/(2x)</math> can be inserted in the first equation.
+
Diese Gleichungen löst man zum Beispiel indem man <math>y= b/(2x)</math> in der ersten Gleichung substituiert.
Zeile 408: Zeile 405:
-
Calculate <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
+
Berechnen Sie <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
-
Put <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> where <math>x</math> and <math>y</math> are real numbers. Squaring both sides gives
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Wir nehmen an dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> wo <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
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which leads to the system of equations
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und wir erhalten die beiden Gleichungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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From the second equation, we can solve for <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math> and put it into the first equation to get
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Von der zweiten Gleichung erhalten wir dass <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>, und dies substituiert in der ersten Gleichung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
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This is a quadratic equation in <math>x^2</math> which can be seen more easily by putting <math>t=x^2</math>,
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Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten Lösen indem wir <math>t=x^2</math> substituieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
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The solutions are <math>t = 1</math> and <math>t = -4</math>. The latter solution must be rejected, as <math>x</math> and <math>y</math> have been assumed to be real numbers, and thus <math>x^2=-4</math> cannot be true. We get <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, which gives us two possible solutions
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Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig nachdem <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, und dadurch
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* <math>\ x=-1\ </math> which gives <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
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* <math>\ x=-1\ </math> gibt dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
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* <math>\ x=1\ </math> which gives <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
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* <math>\ x=1\ </math> gibt dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
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So we can conclude that
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Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Zeile 442: Zeile 439:
<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Solve the equation <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
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The formula for solutions of a quadratic equation (see example 3) gives that
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Wir erhalten durch die Allgemeine Lösungsformel (Siehe Beispiel 12) dass
{{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
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<li> Solve the equation <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
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Here, once again , the formula may be used, giving the solutions directly
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Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
</li>
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<li> Solve the equation <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
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<li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
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Zeile 464: Zeile 461:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Applying the formula gives
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Durch die Lösungsformel erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>}}
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where we used the resulting value of <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> that we obtained in example 15. The solutions are therefore
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Wo wir und vom Beispiel 15 verwendet haben um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}

Version vom 14:23, 18. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der Moivrescher Satz
  • Quadratische Gleichungen
  • Exponentialfunktionen
  • Quadratische Ergänzung

{{Info| Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Potenzen von komplexen Zahlen mit den Moivrechen Satz lösen.
  • Wurzeln von komplexen Zahlen berechnen indem man die Zahl auf Polarform bringt.
  • Komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch Ergänzen.

Komplexe quadratische Gleichungen lösen.

Moivrescher Satz

Die Rechenregeln \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ and \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ bedeuten dass

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\times z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\times z\,| = |\,z\,|\times|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}


Für eine beliebige komplexe Zahl \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha), gilt es deshalb dass

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Falls \displaystyle |\,z\,|=1, (Also dass \displaystyle z am Einheitskreis liegt) erhalten wir den Sonderfall

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wir wir sehen werden, ist diese Rege sehr wichtig wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.


Beispiel 1


Falls \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2}, bestimmen Sie \displaystyle z^3 und \displaystyle z^{100}.


Wir schreiben \displaystyle z in Polarform \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\times \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ und verwenden den Moivreschen Satz

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}

und mit den Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Nachdem die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleich setzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3


Vereinfachen Sie \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Wir schreiben die Zahlen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle 1+i in Polarform

  • \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Durch den Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}


Die nte Wurzel von komplexe Zahlen

Eine komplexe \displaystyle z wird die nte Wurzel von \displaystyle w genannt falls

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhaltet man indem man beide Zahlen auf Polarform bringt, und deren Betrag und Argument vergleicht.

Gegeben eine Zahl \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) nimmt man an dass \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) und erhaltet so die Gleichung

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

wo die den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\times 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Beachten Sie hier dass wir einen Multipel von \displaystyle 2\pi zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Wir erhalten also einen Wert für \displaystyle r, aber unendlich viele Werte für \displaystyle \alpha. Hingegen gibt es aber nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von \displaystyle k zwischen \displaystyle k = 0 und \displaystyle k = n - 1 erhalten wir verschiedene Argumente für \displaystyle z, und daher verschiedene Zahlen \displaystyle z. Für andere Werte von \displaystyle k, wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, nachdem die Funktionen \displaystyle \cos \theta und \displaystyle \sin \theta periodisch sind, und die Periodenlänge \displaystyle 2 \pi haben. Also hat eine Gleichung auf der Form \displaystyle z^n=w genau \displaystyle n Wurzeln.

Kommentar. Beachten Sie dass das Argument der Lösungen sich immer mit \displaystyle 2\pi/n unterscheidet. Also sind die Lösungen uniform auf den Kreis mit den Radius \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} verteilt, und bilden ein n-Seitiges Polygon.


Exempel 4


Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.


Wir schreiben \displaystyle z and \displaystyle 16\,i in Polarform

  • \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
  • \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Die Gleichung \displaystyle \ z^4=16\,i\ wird also

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten,erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\times 2\pi,\end{align*}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]


Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir \displaystyle i als eine normale Zahl betrachten, und die komplexe Zahl \displaystyle z wie eine Funktion von nur \displaystyle \alpha betrachten( wo \displaystyle r also konstant ist),

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

erhalten wir durch wiederholte Ableitung

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}

Die einzige reellen Funktionen die die dies erfüllen, sind Funktionen auf der Form \displaystyle f(x)= e^{\,kx}. Daher ist die folgende Definition natürlich;

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Dies ist auch eine Generalisierung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Substituieren wir \displaystyle z=a+ib erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Die Definition von \displaystyle e^{\,z} kann wie eine Kurzform von der Polarform verwendet werden, nachdem \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.


Beispiel 5

Für eine reelle Zahl \displaystyle z ist die Definition dieselbe wir für die reelle Exponentialfunktion. Nachdem \displaystyle z=a+0\times i erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\times i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \times 1 = e^a\,\mbox{.}

Beispiel 6

Eine weitere Folge dieser Definition erhalten wir durch den Moivrischen Satz

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}

und dies erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen,

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}

Beispiel 7


Von den Definitionen oben, erhalten wir die Formel

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

Diese Berühmte Formel wurde von Euler in den 18 Jahrhundert entdeckt.

Beispiel 8

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.


Wir lassen \displaystyle w = z + i sein. Wir erhalten so die Gleichung \displaystyle \ w^3=-8i\,. Wir bringen als erster Schritt \displaystyle w und \displaystyle -8i in Polarform

  • \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

In Polarform lautet die Gleichung \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ ; Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

  • \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
  • \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

also \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i und \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Beispiel 9


Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.


Wenn für \displaystyle z=a+ib, \displaystyle |\,z\,|=r und \displaystyle \arg z = \alpha ist, ist für \displaystyle \overline{z}= a-ib \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r und \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Also ist \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} und \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Die Gleichung lautet also

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}

Wir sehen direkt dass \displaystyle r=0 eine der Lösungen ist, und daher die Lösung \displaystyle z=0 ergibt. Nehmen wir an dass \displaystyle r\not=0 erhalten wir die Gleichung \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln sind also

  • \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}


Quadratische Ergänzung

Die wohlbekannten Regeln

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

die wir verwenden um Quadraten zu erweitern, können auch verwendet werden um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel,

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Dies kann verwendet werden um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel,

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir die Wurzeln berechnen erhalten wir dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und dass \displaystyle x=-2\pm 3, und also \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.


Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um einer der binomischen Formeln rückwärts verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Addiere wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form:

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Diese Methode um quadratische Gleichungen zu lösen nennt man quadratische Ergänzung.


Beispiel 10

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.

    Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben un quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 zu beiden Seiten addieren, erhalten wir:
    \displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

    Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2, und also ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.

  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indemwir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}

    und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.

Allgemein addiert oder subtrahiert man eine Konstante sodass die Konstante in der linken Seite der Gleichung die Quadrate von den halben Koeffizienten vom x-Term ist. Diese Methode ist ganz allgemein, und funktioniert auch für komplexe Gleichungen.


Beispiel 11


Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.


Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} zu beiden Seiten addieren

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.

Beispiel 12


Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.


Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Dadurch erhalten wir eine Allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Beispiel 13


Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.



Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i), und also addieren wir die Quadrate von den Koeffizienten zu beiden Seiten der Gleichung,

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Erweitern Wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite Quadratisch, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.

Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Zum Beispiel,

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}


Beispiel 14


Ergänzen Sie \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.


Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}


Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel

Manchmal ist es am einfachsten quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme Wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen dass

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Diese Gleichungen löst man zum Beispiel indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung substituiert.


Beispiel 15


Berechnen Sie \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.


Wir nehmen an dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ wo \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}

und wir erhalten die beiden Gleichungen

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Von der zweiten Gleichung erhalten wir dass \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ , und dies substituiert in der ersten Gleichung ergibt

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten Lösen indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren,

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig nachdem \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1}, und dadurch

  • \displaystyle \ x=-1\ gibt dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
  • \displaystyle \ x=1\ gibt dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Also ist

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 16


  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.

    Wir erhalten durch die Allgemeine Lösungsformel (Siehe Beispiel 12) dass
    \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}

    Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
    \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
  3. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}

    Division of both sides by \displaystyle i gives
    \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

    Durch die Lösungsformel erhalten wir

    \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}

    Wo wir und vom Beispiel 15 verwendet haben um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher

    \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}
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